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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mo 19.02.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion:
h) [mm] f(z)=\bruch{1}{8}(az+\bruch{b}{z})^{8} [/mm] |
Hallo Leute
Ich habe obige Aufgabe schon einmal gelöst, verstehe aber heute meinen Losungsweg von damals nicht mehr 
Den Lösungsweg habe ich mir notiert, er sieht so aus:
[mm] f'(z)=\bruch{1}{8}*8(az+\bruch{b}{z})^{7}*(a+\bruch{1*0-b*1}{z^{2}})
[/mm]
Resultat wäre dann:
[mm] (az+\bruch{b}{z})^{7}*(a-\bruch{b}{z^{2}})
[/mm]
So wie ich das jetzt interpretiere, habe ich ja da die Kettenregel angewendet. Ich verstehe jetzt aber nicht mehr genau, warum ich das muss. Wie geht das nochmals genau mit der Kettenregel?
Zur Einfachheit halber habe ich mir mal folgenden Vergleich gemacht. Was wäre wenn:
[mm] f(z)=5*(3+z)^{8} [/mm] Da müsste ich die Kettenregel ja nicht anwenden, oder? Die muss ich nur anwenden, weil innerhalb der Klammer bei der Originalaufgabe ein Bruch steht. Sehe ich das richtig? Danke für eure Tipps.
Gruss belimo
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Hallo belimo,
> Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion:
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> h) [mm]f(z)=\bruch{1}{8}(az+\bruch{b}{z})^{8}[/mm]
> Hallo Leute
>
> Ich habe obige Aufgabe schon einmal gelöst, verstehe aber
> heute meinen Losungsweg von damals nicht mehr
>
> Den Lösungsweg habe ich mir notiert, er sieht so aus:
>
> [mm]f'(z)=\bruch{1}{8}*8(az+\bruch{b}{z})^{7}*(a+\bruch{1*0-b*1}{z^{2}})[/mm]
>
> Resultat wäre dann:
>
> [mm](az+\bruch{b}{z})^{7}*(a-\bruch{b}{z^{2}})[/mm]
>
> So wie ich das jetzt interpretiere, habe ich ja da die
> Kettenregel angewendet
... und die Quotientenregel. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich verstehe jetzt aber nicht mehr
> genau, warum ich das muss. Wie geht das nochmals genau mit
> der Kettenregel?
Merk' dir einfach nur "innere Ableitung mal äußere Ableitung". Du hast also z.B. eine Funktion der Art [mm]f(x):=(x+1)^2[/mm] mit [mm]u(x) := x+1[/mm]. Dann leitest du zuerst [mm]u(x)[/mm] ab und multiplizierst das mit der äußeren Ableitung also 2(x+1).
> Zur Einfachheit halber habe ich mir mal folgenden Vergleich
> gemacht. Was wäre wenn:
>
> [mm]f(z)=5*(3+z)^{8}[/mm] Da müsste ich die Kettenregel ja nicht
> anwenden, oder?
Wieso nicht? Selbes Prinzip innere Ableitung (also Ableitung von 3+z) mal äußere Ableitung (also hier Ableitung von [mm]5k^8[/mm], wobei k Platzhalter für den inneren Term ist).
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 20.02.2007 | | Autor: | belimo |
Danke für die Antwort.
Hm, eigentlich habe ich das Gefühl etwas wichtiges wieder begriffen zu haben.
Aber, was mir irgendwie immer noch nicht ganz einleutet:
> Merk' dir einfach nur "innere Ableitung mal äußere
> Ableitung". Du hast also z.B. eine Funktion der Art
> [mm]f(x):=(x+1)^2[/mm] mit [mm]u(x) := x+1[/mm]. Dann leitest du zuerst [mm]u(x)[/mm]
> ab und multiplizierst das mit der äußeren Ableitung also
> 2(x+1).
>
> > Zur Einfachheit halber habe ich mir mal folgenden Vergleich
> > gemacht. Was wäre wenn:
> >
> > [mm]f(z)=5*(3+z)^{8}[/mm] Da müsste ich die Kettenregel ja nicht
> > anwenden, oder?
> Wieso nicht? Selbes Prinzip innere Ableitung (also
> Ableitung von 3+z) mal äußere Ableitung (also hier
> Ableitung von [mm]5k^8[/mm], wobei k Platzhalter für den inneren
> Term ist).
Also im Prinzip ist ja das 3+z eine Funktion, ich nenne sie mal u(z)
Dann sieht das ganze ja so aus:
[mm] f(z)=5*(u(z))^{8}
[/mm]
klar, hier handelt es sich um eine verkettete Funktion.
Aber warum kann ich denn nicht sagen:
der ganze Term [mm] (3+z)^{8} [/mm] sei einfach EINE Funktion? Dann wäre sie nicht verkettet, und ich müsste die Kettenregel nicht anwenden?
Klar, meine Frage tönt vermutlich absolut bescheuert, aber irgendwie habe ich gerade einen Knopf. Hoffe jemand versteht, wo genau mein Knopf liegt, danke.
Gruss belimo
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Hallo,
also das mit der Kettenregel ist für viele wohl nicht so einfach. Im Prinzip kannst du stets und ständig die Kettenregel beim Ableiten anwenden, z.B. auch bei [mm] f(x)=x^{2}. [/mm] Stellst du dir das als verkettet Funktion vor, dann ist das auch per Kettenregel abzuleiten. Das kannst du dir aber sparen, weil die Ableitung von x 1 ist! Das x allein ist ja auch eine Funktion, quasi die einfachste, die du dir vorstellen (von den Konstanten abgesehen). Du wendest also immer dann die Kettenregel an, wenn dort nicht x steht, sondern irgendwas anderes, z.B. sin(x), ln(x), [mm] x^{2}, \bruch{1}{x}, [/mm] etc. Bei deinem Beispiel macht es aber keinen Unterschied, weil die innere Funktion linear ist. Die Ableitung davon ist 1 und 1 als neutrales Element der Multiplikation macht keinen Unterschied!
Ich hoffe, das konnte irgendwie helfen.
Viele Grüße
Daniel
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> Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion
>
> i) [mm]f(t)=\bruch{1}{(3t-2)^{2}}[/mm]
> Hm, also wenn wir jetzt mal von der Theorie zur Praxis
> gehen, ich glaube ich verstehe besser mit Beispielen
> (obige Aufgabe)
>
> Angenommen die Aufgabe wurde so lauten:
> [mm]f(t)=\bruch{1}{3t-2},[/mm] also ohne Quadrat. So würde ich doch
> nur die blanke Quotientenregel anwenden, oder?
> Und jetzt muss ich "nur", weil das Quadrat da steht, noch
> die Kettenregel anwenden? Ist das richtig?
Hallo,
wenn ich jetzt sage "Ja" oder "nein", ist das ziemlich sinnlos, denn es ist nicht ganz sicher, ob wir uns richtig verstehen.
Das Problem kann aber leicht gelöst werden: mach' beides mal!
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:38 Di 20.02.2007 | | Autor: | belimo |
> > Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion
> >
> > i) [mm]f(t)=\bruch{1}{(3t-2)^{2}}[/mm]
> > Hm, also wenn wir jetzt mal von der Theorie zur Praxis
> > gehen, ich glaube ich verstehe besser mit Beispielen
> > (obige Aufgabe)
> >
> > Angenommen die Aufgabe wurde so lauten:
> > [mm]f(t)=\bruch{1}{3t-2},[/mm] also ohne Quadrat. So würde ich doch
> > nur die blanke Quotientenregel anwenden, oder?
> > Und jetzt muss ich "nur", weil das Quadrat da steht,
>
> Das Problem kann aber leicht gelöst werden: mach' beides
> mal!
Hallo Angela
Bin jetzt nicht sicher, was ich genau machen soll. Du meinst die Originalaufgabe einmal mit Kettenregel und einmal ohne?
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> > > Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion
> > >
> > > i) [mm]f(t)=\bruch{1}{(3t-2)^{2}}[/mm]
> > > Hm, also wenn wir jetzt mal von der Theorie zur
> Praxis
> > > gehen, ich glaube ich verstehe besser mit Beispielen
> > > (obige Aufgabe)
> > >
> > > Angenommen die Aufgabe wurde so lauten:
> > > [mm]f(t)=\bruch{1}{3t-2},[/mm] also ohne Quadrat. So würde ich doch
> > > nur die blanke Quotientenregel anwenden, oder?
> > > Und jetzt muss ich "nur", weil das Quadrat da steht,
>
> >
> > Das Problem kann aber leicht gelöst werden: mach' beides
> > mal!
>
> Hallo Angela
>
> Bin jetzt nicht sicher, was ich genau machen soll. Du
> meinst die Originalaufgabe einmal mit Kettenregel und
> einmal ohne?
Leite beide Funktionen so ab, wie Du es für richtig hältst.
[mm] f(t)=\bruch{1}{3t-2} [/mm] mit der Quotientenregel
[mm] f(t)=\bruch{1}{(3t-2)^{2}}[ [/mm] auch mit der Quotientenregel unter zusätzlicher Beachtung der Kettenregel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Di 20.02.2007 | | Autor: | belimo |
also:
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> Leite beide Funktionen so ab, wie Du es für richtig
> hältst.
>
> [mm]f(t)=\bruch{1}{3t-2}[/mm] mit der Quotientenregel
[mm] f'(t)=\bruch{0*...-1*3}{(3t-2)^{2}}=-\bruch{3}{(3t-2)^{2}} [/mm] Sollte stimmen, oder?
> [mm]f(t)=\bruch{1}{(3t-2)^{2}}[[/mm] auch mit der Quotientenregel
> unter zusätzlicher Beachtung der Kettenregel.
und hier wirds jetzt komplizierter:
[mm] f'(t)=\bruch{0*...-1*3}{(3t-2)^{2}}*((3t-2)^{2})'=hier [/mm] stockts etwas
[mm] (3t-2)^{2} [/mm] abgeleitet ist 6*(3t-2), oder? (Im Prinzip (3t-2)*(3t-2), und dann die Produktregel)...
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> >
> > [mm]f(t)=\bruch{1}{3t-2}[/mm] mit der Quotientenregel
>
> [mm]f'(t)=\bruch{0*...-1*3}{(3t-2)^{2}}=-\bruch{3}{(3t-2)^{2}}[/mm]
> Sollte stimmen, oder?
Ja, es stimmt.
>
> > [mm]f(t)=\bruch{1}{(3t-2)^{2}}[[/mm] auch mit der Quotientenregel
> > unter zusätzlicher Beachtung der Kettenregel.
>
> und hier wirds jetzt komplizierter:
>
> [mm]f'(t)=\bruch{0*...-1*3}{(3t-2)^{2}}*((3t-2)^{2})'=hier[/mm]
> stockts etwas
Du mußt für die Quotientenregel den Nenner quadrieren!
Also [mm] f'(t)=\bruch{...}{(3t-2)^{4}}
[/mm]
Der Zähler: [mm] (1)'*(3t-2)^{2} [/mm] - [mm] 1*((3t-2)^{2})'=0 [/mm] - [mm] \underbrace{2*(3t-2)}_{aeussere.Abl.}*\underbrace{3}_{innere.Abl.}
[/mm]
> [mm](3t-2)^{2}[/mm] abgeleitet ist 6*(3t-2), oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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> Zurzeit probiere ich grad wieder an einer anderen (alten)
> Aufgabe rum:
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> Die Ableitung von [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm]
>
> wäre nach mir: [mm]\bruch{0*(1+x)-(1*(1+x)')}{(1+x)^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{0*(1+x)-(1*(1))}{(1+x)^{2}}[/mm]
[mm] =\bruch{-1}{(1+x)^{2}}
[/mm]
und das ist richtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 20.02.2007 | | Autor: | belimo |
Super danke!
Eine Frage betreffend des Forums: Wie funktioniert das eigentlich mit den Sternen genau? Ich meine, kann man als "Schüler" den "Lehrer" bewerten, dass dieser mehr Gold-Sterne erhält, oder wie geht das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Di 20.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo belimo!
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Gruß
Loddar
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