verallgemeinerte Eigenräume < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die verallgemeinerten Eigenräume von B und die Matrix [mm] B^{50} [/mm] für [mm] B=\begin{pmatrix}
-1 & -4 & -1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 4 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo Leute,
Das Charakteristische Polynom lautet [mm] P_{B}(x)=4x^{2}-x^{3}
[/mm]
Eigenwerte [mm] x_{1}=4 x_{2}=0 [/mm]
Eigenraum bestimmen [mm] V(x_{1}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1 & -4 & -3 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm] (nach Gaussumformung)
[mm] V(x_{1})= [/mm] ( v [mm] \in [/mm] V | [mm] v=\vektor{7s \\ s \\ s}, s\in \IR [/mm] ) [mm] dim(V(x_{1}))=1
[/mm]
Wie bestimme ich jetzt den verallgemeinerten Eigenraum zu [mm] x_1
[/mm]
mfg zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mo 15.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die verallgemeinerten Eigenräume von B und
> die Matrix [mm]B^{50}[/mm] für [mm]B=\begin{pmatrix}
-1 & -4 & -1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 4 & 1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo Leute,
>
> Das Charakteristische Polynom lautet [mm]P_{B}(x)=4x^{2}-x^{3}[/mm]
> Eigenwerte [mm]x_{1}=4 x_{2}=0[/mm]
Nein. Die Eigenwerte von B sind 0 und 1.
> Eigenraum bestimmen [mm]V(x_{1})[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
1 & -4 & -3 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
> (nach Gaussumformung)
> [mm]V(x_{1})=[/mm] ( v [mm]\in[/mm] V | [mm]v=\vektor{7s \\ s \\ s}, s\in \IR[/mm] )
Wie Du darauf kommst, ist mir ein Rätsel !
FRED
> [mm]dim(V(x_{1}))=1[/mm]
> Wie bestimme ich jetzt den verallgemeinerten Eigenraum zu
> [mm]x_1[/mm]
>
>
> mfg zahlenfreund
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Ich habe die Eigenwerte mit Wolfram-Alpha berechnet und bekomme [mm] x_{1}=4 [/mm] und [mm] x_{2}=0 x_{3}=0.
[/mm]
Den Eigenraum [mm] V(x_{1}) [/mm] habe ich folgendermaßen berechnet
[mm] V(x_{1})=Kern\begin{pmatrix}
(-1-x_{1}) & -4 & -1 \\
2 & (4-x_{1}) & 2 \\
1 & 4 & (1-x_{1}) \\
\end{pmatrix} [/mm] nach Gaussumformungen erhalte ich die Matrix [mm] V(x_{1})=Kern\begin{pmatrix}
1 & 4 & -3 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} [/mm]
Jetzt kann ich aus der Matrix ablesen [mm] v_{1}+4*v_{2}-3*v_{3}=0,
[/mm]
[mm] -v_{2}+v_{3}=0, v_{3}=s [/mm] mit [mm] s\in \IR
[/mm]
[mm] V(x_{1})= [/mm] ( v [mm] \in [/mm] V | [mm] v=s*\vektor{-1\\ 1\\ 1}, s\in \IR)
[/mm]
Mal von Rechenfehlern abgesehen wie bestimme ich den verallgemeinerten Eigenraum ?
Gruß zahlenfreund
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mi 17.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Ist A eine Matrix und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist
[mm] Kern(A-\lambda [/mm] E)
der Eigenraum von A zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Ist r [mm] \ge [/mm] 2, r [mm] \in \IN, [/mm] so heißt
[mm] Kern((A-\lambda E)^r)
[/mm]
ein verallgemeinerter Eigenraum von A zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Beachte: es ex. ein [mm] r_0 \in \IN [/mm] mit
[mm] Kern((A-\lambda E)^{r_0+s})= Kern((A-\lambda E)^{r_0}) [/mm] für alle s [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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