matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra / Vektorrechnungvektorräume
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - vektorräume
vektorräume < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

vektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mi 28.09.2005
Autor: nina182

leider ist bei mir schon wieder ein kleines problem aufgetaucht, vielleicht weiß ja einer von euch wie das funktioniert und kann mir es an einer der teilaufgabend erklären.....

geben sie jeweils drei linear unabhängige vektoren
a) des vektorraums der polynome maximal 5. grades,
b) des vektorraums der reellen zahlenfolge,
c) des vektorraums der 4x4-matrizen an.

wäre lieb wenn mir das jemand näher bringen könnte...
lg nina

        
Bezug
vektorräume: komponentenweise Betrachtungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Mi 28.09.2005
Autor: Stefan

Hallo Nina!

Alle Betrachtungen fußen auf Betrachtungen der Komponenten/Koeffizienten.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn alle Koeffizienten gleich sind.
Zwei Folgen sind genau dann gleich, wenn alle Folgenglieder gleich sind.
Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn alle Matrixeinträge gleich sind.

Jetzt bleiben wir mal bei den Matrizen und betrachten eine Linearkombination der drei Matrizen [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$, $\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$, [/mm] die die Nullmatrix ergibt:

[mm] $\lambda_1 \cdot \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot \pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$. [/mm]

Zu zeigen ist -um die lineare Unabhängigkeit der drei gewählten Matrizen nachzuweisen-

[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$. [/mm]

Nach Definition der Matrizenaddition und skalaren Multiplikation bedeutet diese obige Gleichheit aber:

[mm] $\pmat{\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$. [/mm]

Und jetzt kommt der "Trick":

Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn alle Matrixeinträge gleich sind.

Daraus folgt aber:

[mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$, [mm] $\lambda_2=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=0$, [/mm]

wie behauptet.

Die drei Matrizen [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$, $\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$ [/mm] sind linear unabhängig.

Genauso (!) geht es mit den Polynomen und den Zahlenfolgen.

Versuche es mal! :-)

Liebe Grüße aus Bonn
Stefan

Bezug
                
Bezug
vektorräume: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Mi 28.09.2005
Autor: nina182

hallo stefan,

vielen dank für die hilfe, das mit den matrizen hab ich jetzt auch verstanden, aber aus den beiden anderen sachen werd ich noch nicht so recht schlau.... könntest du mir da noch mal en tipp für einen ansatz geben???

lg nina

Bezug
                        
Bezug
vektorräume: Polynome
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mi 28.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo Nina!

> vielen dank für die hilfe, das mit den matrizen hab ich
> jetzt auch verstanden, aber aus den beiden anderen sachen
> werd ich noch nicht so recht schlau.... könntest du mir da
> noch mal en tipp für einen ansatz geben???

Also bei den Polynomen könntest du z. B. das Polynome [mm] x^5, x^4 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] nehmen. Oder probiere es doch mal mit ein paar anderen Polynomen. Wahrscheinlich hat dich nur die Aufgabenstellung etwas verwirrt, da du Vektoren normalerweise als [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] kennst. :-) In Stefans Beispiel war dann aber eine Matrix ein Element des Vektorraums, also ein Vektor, hier ist es jetzt ein Polynom.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                        
Bezug
vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Do 29.09.2005
Autor: Stefan

Liebe Nina!

Betrachte die drei reellen Zahlenfolgen

[mm] $(1,0,0,\ldots)$, [/mm] $(0,1,0,0, [mm] \ldots)$ [/mm] und $(0,0,1,0,0, [mm] \ldots)$. [/mm]

Behauptung: Sie sind linear unabhängig!

Es seien [mm] $\lambda_1,\, \lambda_2,\, \lambda_3 \in \IR$ [/mm] gegeben mit

(*) [mm] $\lambda_1 \cdot (1,0,0,\ldots) [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot [/mm] (0,1,0,0, [mm] \ldots) [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot [/mm] (0,0,1,0,0, [mm] \ldots) [/mm] = [mm] (0,0,\ldots)$. [/mm]

Zu zeigen ist [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$. [/mm]

Nach den Rechenregeln im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bedeutet (*) aber (beachte, dass die Addition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert ist):

[mm] $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,0,0,\ldots) [/mm] = [mm] (0,0,0,0,\ldots)$. [/mm]

Nun sind aber zwei reelle Zahlenfolgen genau dann gleich, wenn sie komponentenweise übereinstimmen.

Daraus folgt insbesondere

[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]