vekt. Oberflächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne das vektorielle Oberflächenintegral [mm] \int_F\omega*ndo, [/mm] wenn F die Fläche des Paraboloids [mm] x^2+y^2=2z, [/mm] $0<z<1$ ist, für die Vektorfelder
a) [mm] \omega=(x,y,z)
[/mm]
b) [mm] \omega=(x^3,x^2y,xyz) [/mm] |
Guten Morgen,
heute stecke ich mal wieder fest.
Mein bisheriges Vorgehen:
Teilaufgabe a)
1) Berechnung der Normalen
Wir haben zunächst die Parametrisierung von $F(x,y)=(x,\ y,\ [mm] z(x,y))=\left(x,\ y,\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)\right)$
[/mm]
Die Normale ist daher
[mm] n=F_x\times F_y=(1,0,x)^T\times(0,1,y)^T=(-x,-y,1)
[/mm]
2) Berechnung des Integrals
Das Integral geht dann über in
[mm] $\int_F \omega*ndo=\int_K\omega(F(x,y))*n*d(x,y)=\int_K\vektor{x\\y\\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)}*\vektor{-x\\-y\\1}d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)$
[/mm]
So, und nun habe ich ein Problem. Über welchen Bereich K soll man nun integrieren?
Sollte man sich hier den Koordinaten für ein Paraboloid bedienen, oder ist es doch "einfacher".
Folgendes habe ich mir überlegt:
Ich nutze folgende Darstellung für die Fläche:
[mm] (\theta,\phi)\to(\sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\ \sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\ 2\cos\theta), [/mm] wobei [mm] \theta\in(0,\pi) [/mm] und [mm] \phi\in(\pi,2\pi).
[/mm]
Wenn ich diese Darstellung nutze, dann müsste ich noch die Funktionaldeterminante berechnen, nicht wahr? (Transformationssatz von Integralen)
Welcher Ansatz ist nun richtig, gibt bei obigen Darstellungen bereits Fehler? Teilaufgabe b) lasse ich zunächst außen vor.
Danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mi 12.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechne das vektorielle Oberflächenintegral
> [mm]\int_F\omega*ndo,[/mm] wenn F die Fläche des Paraboloids
> [mm]x^2+y^2=2z,[/mm] [mm]0
>
> a) [mm]\omega=(x,y,z)[/mm]
>
> b) [mm]\omega=(x^3,x^2y,xyz)[/mm]
>
> Guten Morgen,
>
> heute stecke ich mal wieder fest.
>
> Mein bisheriges Vorgehen:
> Teilaufgabe a)
>
> 1) Berechnung der Normalen
> Wir haben zunächst die Parametrisierung von [mm]F(x,y)=(x,\ y,\ z(x,y))=\left(x,\ y,\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)\right)[/mm]
>
> Die Normale ist daher
> [mm]n=F_x\times F_y=(1,0,x)^T\times(0,1,y)^T=(-x,-y,1)[/mm]
>
> 2) Berechnung des Integrals
> Das Integral geht dann über in
>
> [mm]\int_F \omega*ndo=\int_K\omega(F(x,y))*n*d(x,y)=\int_K\vektor{x\\y\\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)}*\vektor{-x\\-y\\1}d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)[/mm]
>
> So, und nun habe ich ein Problem. Über welchen Bereich K
> soll man nun integrieren?
Wegen 0<z<1 ist [mm] 0
also [mm] K=\{(x,y)\in \IR^2: 0
FRED
> Sollte man sich hier den Koordinaten für ein Paraboloid
> bedienen, oder ist es doch "einfacher".
>
> Folgendes habe ich mir überlegt:
> Ich nutze folgende Darstellung für die Fläche:
> [mm](\theta,\phi)\to(\sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\ \sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\ 2\cos\theta),[/mm]
> wobei [mm]\theta\in(0,\pi)[/mm] und [mm]\phi\in(\pi,2\pi).[/mm]
> Wenn ich diese Darstellung nutze, dann müsste ich noch
> die Funktionaldeterminante berechnen, nicht wahr?
> (Transformationssatz von Integralen)
>
> Welcher Ansatz ist nun richtig, gibt bei obigen
> Darstellungen bereits Fehler? Teilaufgabe b) lasse ich
> zunächst außen vor.
>
> Danke für eure Hilfe!
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> > Berechne das vektorielle Oberflächenintegral
> > [mm]\int_F\omega*ndo,[/mm] wenn F die Fläche des Paraboloids
> > [mm]x^2+y^2=2z,[/mm] [mm]0
> >
> > a) [mm]\omega=(x,y,z)[/mm]
> >
> > b) [mm]\omega=(x^3,x^2y,xyz)[/mm]
> >
> > Guten Morgen,
> >
> > heute stecke ich mal wieder fest.
> >
> > Mein bisheriges Vorgehen:
> > Teilaufgabe a)
> >
> > 1) Berechnung der Normalen
> > Wir haben zunächst die Parametrisierung von
> [mm]F(x,y)=(x,\ y,\ z(x,y))=\left(x,\ y,\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)\right)[/mm]
>
> >
> > Die Normale ist daher
> > [mm]n=F_x\times F_y=(1,0,x)^T\times(0,1,y)^T=(-x,-y,1)[/mm]
> >
> > 2) Berechnung des Integrals
> > Das Integral geht dann über in
> >
> > [mm]\int_F \omega*ndo=\int_K\omega(F(x,y))*n*d(x,y)=\int_K\vektor{x\\y\\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)}*\vektor{-x\\-y\\1}d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)[/mm]
>
> >
> > So, und nun habe ich ein Problem. Über welchen Bereich K
> > soll man nun integrieren?
>
> Wegen 0<z<1 ist [mm]0
>
> also [mm]K=\{(x,y)\in \IR^2: 0
Hallo,
demzufolge muss
[mm] -\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}(x^2+y^2)dydx=\ldots=-\pi
[/mm]
berechnet werden. Wahr oder falsch?
Nach der ersten Integration ist das schon ziemlich hässlich, Daher wollte ich es auf Kugelkoordinaten transformieren.
>
>
> FRED
>
> > Sollte man sich hier den Koordinaten für ein Paraboloid
> > bedienen, oder ist es doch "einfacher".
> >
> > Folgendes habe ich mir überlegt:
> > Ich nutze folgende Darstellung für die Fläche:
> > [mm](\theta,\phi)\to(\sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\ \sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\ 2\cos\theta),[/mm]
> > wobei [mm]\theta\in(0,\pi)[/mm] und [mm]\phi\in(\pi,2\pi).[/mm]
> > Wenn ich diese Darstellung nutze, dann müsste ich noch
> > die Funktionaldeterminante berechnen, nicht wahr?
> > (Transformationssatz von Integralen)
> >
> > Welcher Ansatz ist nun richtig, gibt bei obigen
> > Darstellungen bereits Fehler? Teilaufgabe b) lasse ich
> > zunächst außen vor.
> >
> > Danke für eure Hilfe!
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mi 12.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Berechne das vektorielle Oberflächenintegral
> > > [mm]\int_F\omega*ndo,[/mm] wenn F die Fläche des Paraboloids
> > > [mm]x^2+y^2=2z,[/mm] [mm]0
> > >
> > > a) [mm]\omega=(x,y,z)[/mm]
> > >
> > > b) [mm]\omega=(x^3,x^2y,xyz)[/mm]
> > >
> > > Guten Morgen,
> > >
> > > heute stecke ich mal wieder fest.
> > >
> > > Mein bisheriges Vorgehen:
> > > Teilaufgabe a)
> > >
> > > 1) Berechnung der Normalen
> > > Wir haben zunächst die Parametrisierung von
> > [mm]F(x,y)=(x,\ y,\ z(x,y))=\left(x,\ y,\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)\right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Die Normale ist daher
> > > [mm]n=F_x\times F_y=(1,0,x)^T\times(0,1,y)^T=(-x,-y,1)[/mm]
>
> > >
> > > 2) Berechnung des Integrals
> > > Das Integral geht dann über in
> > >
> > > [mm]\int_F \omega*ndo=\int_K\omega(F(x,y))*n*d(x,y)=\int_K\vektor{x\\y\\ \frac{1}{2}(x^2+y^2)}*\vektor{-x\\-y\\1}d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)[/mm]
>
> >
> > >
> > > So, und nun habe ich ein Problem. Über welchen Bereich K
> > > soll man nun integrieren?
> >
> > Wegen 0<z<1 ist [mm]0
> >
> > also [mm]K=\{(x,y)\in \IR^2: 0
> Hallo,
>
> demzufolge muss
>
> [mm]-\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}(x^2+y^2)dydx=\ldots=-\pi[/mm]
>
> berechnet werden. Wahr oder falsch?
Das Ergebnis ist richtig.
>
> Nach der ersten Integration ist das schon ziemlich
> hässlich,
Ja, warum nimmst Du nicht Polarkoordinaten ? Damit kommst Du ratzfatz durch.
FRED
> Daher wollte ich es auf Kugelkoordinaten
> transformieren.
> >
> >
> > FRED
> >
> > > Sollte man sich hier den Koordinaten für ein Paraboloid
> > > bedienen, oder ist es doch "einfacher".
> > >
> > > Folgendes habe ich mir überlegt:
> > > Ich nutze folgende Darstellung für die Fläche:
> > > [mm](\theta,\phi)\to(\sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\ \sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\ 2\cos\theta),[/mm]
> > > wobei [mm]\theta\in(0,\pi)[/mm] und [mm]\phi\in(\pi,2\pi).[/mm]
> > > Wenn ich diese Darstellung nutze, dann müsste ich
> noch
> > > die Funktionaldeterminante berechnen, nicht wahr?
> > > (Transformationssatz von Integralen)
> > >
> > > Welcher Ansatz ist nun richtig, gibt bei obigen
> > > Darstellungen bereits Fehler? Teilaufgabe b) lasse ich
> > > zunächst außen vor.
> > >
> > > Danke für eure Hilfe!
> >
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> > Hallo,
> >
> > demzufolge muss
> >
> >
> [mm]-\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}(x^2+y^2)dydx=\ldots=-\pi[/mm]
> >
> > berechnet werden. Wahr oder falsch?
>
> Das Ergebnis ist richtig.
>
>
> >
> > Nach der ersten Integration ist das schon ziemlich
> > hässlich,
>
>
>
> Ja, warum nimmst Du nicht Polarkoordinaten ? Damit kommst
> Du ratzfatz durch.
Hallo Fred,
wegen der Jahreszeit habe ich mich dann auch kurzum für die Polarkoordinaten entschieden.
Danke für die Kontrolle.
>
> FRED
>
> > Daher wollte ich es auf Kugelkoordinaten
> > transformieren.
> > >
> > >
> > > FRED
> > >
> > > > Sollte man sich hier den Koordinaten für ein Paraboloid
> > > > bedienen, oder ist es doch "einfacher".
> > > >
> > > > Folgendes habe ich mir überlegt:
> > > > Ich nutze folgende Darstellung für die Fläche:
> > > > [mm](\theta,\phi)\to(\sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\ \sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\ 2\cos\theta),[/mm]
> > > > wobei [mm]\theta\in(0,\pi)[/mm] und [mm]\phi\in(\pi,2\pi).[/mm]
> > > > Wenn ich diese Darstellung nutze, dann müsste
> ich
> > noch
> > > > die Funktionaldeterminante berechnen, nicht wahr?
> > > > (Transformationssatz von Integralen)
> > > >
> > > > Welcher Ansatz ist nun richtig, gibt bei obigen
> > > > Darstellungen bereits Fehler? Teilaufgabe b) lasse ich
> > > > zunächst außen vor.
> > > >
> > > > Danke für eure Hilfe!
> > >
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mi 12.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo,
> > >
> > > demzufolge muss
> > >
> > >
> >
> [mm]-\frac{1}{2}\int_Kx^2+y^2d(x,y)=-\frac{1}{2}\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{-\sqrt{2-x^2}}^{\sqrt{2-x^2}}(x^2+y^2)dydx=\ldots=-\pi[/mm]
> > >
> > > berechnet werden. Wahr oder falsch?
> >
> > Das Ergebnis ist richtig.
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> > >
> > > Nach der ersten Integration ist das schon ziemlich
> > > hässlich,
> >
> >
> >
> > Ja, warum nimmst Du nicht Polarkoordinaten ? Damit kommst
> > Du ratzfatz durch.
> Hallo Fred,
>
> wegen der Jahreszeit habe ich mich dann auch kurzum für
> die Polarkoordinaten entschieden.
Gute Idee.
FRED
>
> Danke für die Kontrolle.
> >
> > FRED
> >
> > > Daher wollte ich es auf Kugelkoordinaten
> > > transformieren.
> > > >
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > > > > Sollte man sich hier den Koordinaten für ein Paraboloid
> > > > > bedienen, oder ist es doch "einfacher".
> > > > >
> > > > > Folgendes habe ich mir überlegt:
> > > > > Ich nutze folgende Darstellung für die
> Fläche:
> > > > > [mm](\theta,\phi)\to(\sqrt{2}\sin\theta\cos\phi,\ \sqrt{2}\sin\theta\sin\phi,\ 2\cos\theta),[/mm]
> > > > > wobei [mm]\theta\in(0,\pi)[/mm] und [mm]\phi\in(\pi,2\pi).[/mm]
> > > > > Wenn ich diese Darstellung nutze, dann müsste
> > ich
> > > noch
> > > > > die Funktionaldeterminante berechnen, nicht wahr?
> > > > > (Transformationssatz von Integralen)
> > > > >
> > > > > Welcher Ansatz ist nun richtig, gibt bei obigen
> > > > > Darstellungen bereits Fehler? Teilaufgabe b) lasse ich
> > > > > zunächst außen vor.
> > > > >
> > > > > Danke für eure Hilfe!
> > > >
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