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hallo,
ich komme bei folgender aufgabe nicht wirklich weiter:
Zeigen Sie, dass U := {x [mm] \in \IR [/mm] hoch 5 | [mm] \summe_{k=1}^{5} x_{k}=0} \subset \IR [/mm] hoch 5 ein unterraum ist.
ich kenn ja die definition:
1. 0 element U
2. u+v element U
3. [mm] \lambda [/mm] u element U
wie kann ich denn des jetzt genau an dem Vektorraum U "formal" beweisen??
schonmal danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Fr 17.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> $U := [mm] \{ x \in \IR^5 |\summe_{k=1}^{5} x_{k}=0 \} \subset \IR^5$
[/mm]
also in U sollen alle Vektoren des [mm] $\IR^5$ [/mm] sein, die die komponentenweise Summe gleich 0 besitzen
> ich kenn ja die definition:
> 1. 0 element U
> 2. u+v element U
> 3. [mm]\lambda[/mm] u element U
>
na du musst jedes dieser Kriterien überprüfen..
zu 1) es ist doch trivial, dass der Nullvektor als Summe seiner Komponenten gleich 0 hat, oder?
zu 2) seien [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}$ [/mm] und [mm] $y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5}$ [/mm] mit [mm] $\summe_{k=1}^{5} x_{k}=\summe_{k=1}^{5} y_{k}=0$
[/mm]
zu zeigen ist nun, dass die summe der komponenten von [mm] $x+y=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\\x_4+y_4\\x_5+y_5}$ [/mm] auch gleich 0 ist....
zu 3) analog für [mm] $\lambda*x=\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2\\\lambda*x_3\\\lambda*x_4\\\lambda*x_5}$ [/mm] zu zeigen !
versuchst du es nochmal?
viele Grüße
DaMenge
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also 1. ist klar
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0
[/mm]
beim nullvektor für:
0+0+0+0+0=0
zu 2.
[mm] x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3}+x_{4}+y_{4}+x_{5}+x_{5}=0
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=- (y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5})
[/mm]
damit nachweis des inversen [mm] x_{1}=- y_{1}
[/mm]
zu 3.
[mm] \lambda x_{1}+\lambda x_{2}+\lambda x_{3}+\lambda x_{4}+\lambda x_{5}=o
[/mm]
[mm] \lambda (x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}+ x_{5})= [/mm] o
[mm] \lambda [/mm] 0 = o
ist dies ein richtiger beweis der unterraumaxiome??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 So 19.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> zu 2.
> [mm]x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3}+x_{4}+y_{4}+x_{5}+x_{5}=0[/mm]
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=- (y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5})[/mm]
>
> damit nachweis des inversen [mm]x_{1}=- y_{1}[/mm]
>
wieso jetzt plötzlich das inverse?
du musst die richtigkeit deiner ersten zeile nachweisen, dazu fasse aber so zusammen:
[mm] $(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})+(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5})$
[/mm]
was weißt du nun über die Summanden? wie groß ist also die gesamte Summe?
der rest passt so !
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