untersuchung parameterfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich habe ein Problem bei der Lösung dieser Aufgaben:
[mm] f(x)=x+9-\bruch{t}{x²}
[/mm]
1. Für welchen wert t hat die Funktion Extrema? (Für mich ist das mathematisch nicht lösbar)
2. Warum hat die Funktion für kein t Wendepunkte?
[mm] f(x)=x+9-\bruch{8}{x²}
[/mm]
1. Die Funktion begrenzt mit der x-Achse eine Fläche. Berechne diese Fläche.
(Ich habe 24,89 FE ausgerechnet!?)
2. Im 2. Quadranten kann in die Fläche zwischen Funktion und x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben werden. Der 1. Eckpunkt des Dreiecks ist A(-1/0), der 2. Eckpunkt liegt im negativen Bereich auf der x-Achse und der 3. Eckpunkt ist ein Punkt auf den Graphen der Funktion. Die Verbindungslinie zwischen 1. und 3. Eckpunkt ist die Hypotenuse des Dreiecks. Berechne die maximale Fläche.
(Ich habe ein Problem bei der Aufstellung der Haupt- und Nebenbedingung und der Zielfunktion)
Danke im Voraus für Hilfe.
Gruß Anni
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wo ist dein Problem?
zu 1: bilde die erste Ableitung und setzt sie gleich 0
[mm] f'(x)=1+\bruch{2t}{x}=0
[/mm]
-> t= [mm] \bruch{-x}{2}
[/mm]
Wendepunkte gibt es keine, bilde mal die 2.Ableitung, wenn du Schwierigkeiten hast meld dich noch mal
24,89 für das Integral hab ich auch raus, Nullstellen sind [mm] -4-\wurzel{24}
[/mm]
und -1 als Integrationsgrenzen
Das Dreieck hat die Seitenlängen (x2-x1) und f(x2)
da es rechtwinklig ist, gilt für den Fklächeninhalt:
(x2-x1)*f(x2)
also: [mm] (x2+1)*(x2^2+9*x2+ \bruch{8}{x2}
[/mm]
ausmultiplizieren und dann Minimum finden, also ableiten, den Restkannst du ja
wenn noch Fragen sind, meld dich noch mal, werde mich allerdings erst morgen nachmittag wieder melden können
Gruss aus Wiesbaden
Oliver
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> wo ist dein Problem?
> zu 1: bilde die erste Ableitung und setzt sie gleich 0
>
> [mm]f'(x)=1+\bruch{2t}{x}=0[/mm] [mm] \daumenrunter
[/mm]
>
[mm]f'(x)=1+\bruch{2t}{x^3}=0[/mm]
> -> t= [mm]\bruch{-x}{2}
[/mm]
>
> Wendepunkte gibt es keine, bilde mal die 2.Ableitung, wenn
> du Schwierigkeiten hast meld dich noch mal
>
> 24,89 für das Integral hab ich auch raus, Nullstellen sind
> [mm]-4-\wurzel{24}
[/mm]
> und -1 als Integrationsgrenzen
>
>
> Das Dreieck hat die Seitenlängen (x2-x1) und f(x2)
> da es rechtwinklig ist, gilt für den Fklächeninhalt:
> (x2-x1)*f(x2)
>
> also: [mm](x2+1)*(x2^2+9*x2+ \bruch{8}{x2}
[/mm]
> ausmultiplizieren
> und dann Minimum finden, also ableiten, den Restkannst du
> ja
>
> wenn noch Fragen sind, meld dich noch mal, werde mich
> allerdings erst morgen nachmittag wieder melden können
>
> Gruss aus Wiesbaden
> Oliver
>
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danke hobbymathematiker, da ist was bei der Eingabe im Editor schief gegangen [mm] x^3 [/mm] im Nenner muss es natürlich bei der Ableitung heissen, deine Korrektur ist berechtigt
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also, wie man die fläche des dreiecks berechnet, ist für mich noch ein problem. auch das mit (x2-x1)*f(x2) verstehe ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Annika!
Der Flächeninhalt eines Dreieckes berechnet sich doch zu:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * [mm] h_g$
[/mm]
Wenn Du Dir folgende Skizze ansiehst, kannst Du da vielleicht eine Grundseite mit zugehöriger Höhe erkennen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Grundseite $g$ beträgt doch hier die Differenz des gesuchten x-Wertes [mm] $x_0$ [/mm] zur Stelle [mm] $x_1 [/mm] = -1$:
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $g \ = \ [mm] x_0 [/mm] - (-1) \ = \ [mm] x_0 [/mm] + 1$
Die zugehörige Höhe [mm] $h_g$ [/mm] entspricht ja genau dem zugehörigen Funktionswert : [mm] $h_g [/mm] \ = \ [mm] f(x_0)$
[/mm]
Dies' nun in o.g. Flächenformel einsetzen und eine Extremalberechnung durchführen ...
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Fr 18.02.2005 | | Autor: | anni-1986 |
Danke Loddar für die sehr gute anschauliche erklärung. ich denke, nun kann ich die aufgabe lösen.
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> -> t= [mm]\bruch{-x}{2}[/mm]
-> t= [mm]\bruch{-x^3}{2}[/mm]
Hier hat auch noch das "hoch drei" gefehlt.
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> hallo,
> ich habe ein Problem bei der Lösung dieser Aufgaben:
>
> [mm]f(x)=x+9-\bruch{t}{x²}
[/mm]
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> 1. Für welchen wert t hat die Funktion Extrema? (Für mich
> ist das mathematisch nicht lösbar)
> 2. Warum hat die Funktion für kein t Wendepunkte?
>
> [mm]f(x)=x+9-\bruch{8}{x²}
[/mm]
>
> 1. Die Funktion begrenzt mit der x-Achse eine Fläche.
> Berechne diese Fläche.
> (Ich habe 24,89 FE ausgerechnet!?)
>
> 2. Im 2. Quadranten kann in die Fläche zwischen Funktion
> und x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben
> werden. Der 1. Eckpunkt des Dreiecks ist A(-1/0), der 2.
> Eckpunkt liegt im negativen Bereich auf der x-Achse und der
> 3. Eckpunkt ist ein Punkt auf den Graphen der Funktion. Die
> Verbindungslinie zwischen 1. und 3. Eckpunkt ist die
> Hypotenuse des Dreiecks. Berechne die maximale Fläche.
>
> (Ich habe ein Problem bei der Aufstellung der Haupt- und
> Nebenbedingung und der Zielfunktion)
>
> Danke im Voraus für Hilfe.
>
> Gruß Anni
Hallo Anni
1a) Wenn du die 1. Abl. bildest siehst du , dass die Funktion für alle t [mm] \not= [/mm] 0
Extremstellen hat.
1b) Für Werndepunkte gilt die Bedingung 2. Ableitung =0. Gibt es eine Nullstelle für die zweite Ableitung?
2a) ist korrekt
2b) Für diese Aufgabe muss ich noch etwas nachdenken, hier mein ansatz :
Die Fläche ergibt sich aus der Summe der Integrale der beiden Seiten.
[mm] m_1 = \bruch { f(c) - 0}{c -(-1)} [/mm]
Die Steigung der zweiten Seite ist [mm] m_1 \cdot m_2 = -1 [/mm]
Vielleicht kommst du damit weiter.
sorry das ist falsch bei obigem dreieck liegt die Hypotenuse auf der X-Achse.
der andere ansatz ist richtig.
Gruss
Eberhard
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ja genau so meinte ich das mit (x2-x1)*f(x2)*0,5
die 0,5, weil die Fläche eines Dreiecks eben 1/2*g*h ist.
dein Ansatz ist völlig richtig, hab dasselbe raus, wenn du jetzt den minimalen Flächeninhalt suchst, musst du A(x) ableiten und null setzen.
denke dran, dass [mm] \bruch{8}{x} [/mm] =8*x^(-1) ist
abgleitet ergibt dass -8*x^(-2), also [mm] \bruch{-8}{x^2}
[/mm]
und [mm] \bruch{-8}{x^2}=-8*x^{-2} [/mm] ergibt abgeleitet
16*x^(-3) .....
weiter versuchst du erst mal selbst....
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hallo nochmal,
ich habe nun die Funktion aufgestellt zur berechnung der fläche des dreiecks:
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}x²+5x-\bruch{8}{2x}-\bruch{8}{2x²}+4,5
[/mm]
wenn ich so eine funktion schon wieder sehe, könnte ich weglaufen. zur kontrolle wollte ich wissen, ob die überhaupt stimmt? und ob man die noch weiter zusammenziehen kann?
danach muss ich dann extrema berechnen?
gruß anni
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hallo nochmal,
ich hätte gedacht, dass ich das jetzt alles lösen kann, nur die extremabestimmung bereitet mir probleme. also die funktion war nochmal zur berechnung der Fläche:
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}x²+5x-4x^{-1}-4x^{-2}+4,5
[/mm]
Die erste Ableitung ist dann:
[mm] A(x)=x+5+4x^{-2}+8x^{-3}
[/mm]
Ich habe dann versucht, Extrema mit dem newton-verfahren zu bestimmen, aber irgendwie funktioniert es nicht. wähle ich den falschen startwert?
außerdem habe ich bei einer anderen aufgabe genau das selbe problem. (ja ja immer diese komischen funktionen).
die aufgabe ist:
Gegeben ist
[mm] f(x)=x*\wurzel{1-\bruch{1}{5}x}
[/mm]
Die Funktion bildet mit der x-Achse eine Fläche. in diese fläche wird ein dreieck so eingeschrieben, dass zwei eckpunkte die nullstellen der Funktion darstellen und ein eckpunkt auf der funktion liegt. bestimme den maximalen flächeninhalt des dreieckes.
Die funktion für die berechnung des flächeninhaltes habe ich schon aufgestellt:
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}x²+\bruch{1}{2}*\wurzel{1-\bruch{1}{5}x}
[/mm]
Bitte nochmal kontrollieren, ob das stimmt.
Die erste Ableitung ist dann:
[mm] A(x)=x-\bruch{1}{20}*(1-\bruch{1}{5}x)^{-0,5} [/mm]
(sehr unsicher, ob das stimmt)
dann wollte ich extrema wieder mit newton bestimmen, aber es klappt nicht so wie ich will.
gruß anni
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Hallo Anni
> hallo nochmal,
>
> ich hätte gedacht, dass ich das jetzt alles lösen kann, nur
> die extremabestimmung bereitet mir probleme. also die
> funktion war nochmal zur berechnung der Fläche:
>
> [mm]A(x)=\bruch{1}{2}x²+5x-4x^{-1}-4x^{-2}+4,5
[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die erste Ableitung ist dann:
>
> [mm]A(x)=x+5+4x^{-2}+8x^{-3}
[/mm]
>
> Ich habe dann versucht, Extrema mit dem newton-verfahren zu
> bestimmen, aber irgendwie funktioniert es nicht. wähle ich
> den falschen startwert?
versuch mal
[-6;-4] und [-2;0]
>
>
> außerdem habe ich bei einer anderen aufgabe genau das selbe
> problem. (ja ja immer diese komischen funktionen).
>
> die aufgabe ist:
> Gegeben ist
>
> [mm]f(x)=x*\wurzel{1-\bruch{1}{5}x}
[/mm]
>
> Die Funktion bildet mit der x-Achse eine Fläche. in diese
> fläche wird ein dreieck so eingeschrieben, dass zwei
> eckpunkte die nullstellen der Funktion darstellen und ein
> eckpunkt auf der funktion liegt. bestimme den maximalen
> flächeninhalt des dreieckes.
>
> Die funktion für die berechnung des flächeninhaltes habe
> ich schon aufgestellt:
>
>
> [mm]A(x)=\bruch{1}{2}x²+\bruch{1}{2}*\wurzel{1-\bruch{1}{5}x}
[/mm]
Das kann ich nicht nachvollziehen?
Wie kommst du zu der Funktion?
Was sind deine Nullstellen?
Mein Ansatz wäre :
[mm]A(x)=\bruch{1}{2}(x_{n2}- x_{n1})*f(x)
[/mm]
Gruss
Eberhard
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hallo,
ich muss ja wieder die formel
[mm] A=\bruch{1}{2}*g*h
[/mm]
anwenden.
Die Nullstellen sind ja x=0 und x=5.
Also ist die Grundseite g=x (?) und die Höhe ist h=f(x).
Und dies habe ich dann in die obige formel eingesetzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anni!
Bitte eröffne doch für einen neue Aufgabe auch einen neuen Strang (dann bleibt es übersichtlicher).
> [mm]f(x)=x*\wurzel{1-\bruch{1}{5}x}[/mm]
>
> Die Funktion bildet mit der x-Achse eine Fläche. in diese
> fläche wird ein dreieck so eingeschrieben, dass zwei
> eckpunkte die nullstellen der Funktion darstellen und ein
> eckpunkt auf der funktion liegt. bestimme den maximalen
> flächeninhalt des dreieckes.
>
> Die funktion für die berechnung des flächeninhaltes habe
> ich schon aufgestellt:
>
>
> [mm]A(x)=\bruch{1}{2}x²+\bruch{1}{2}*\wurzel{1-\bruch{1}{5}x}[/mm]
Ich vermute mal, Du hast hier die Flächenfunktion wie bei der 1. Aufgabe ermittelt.
Ganz so einfach ist das leider nicht ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") .
Wie der Hobbymathematiker bereits angemerkt hat:
Wie hast Du denn die Nullstellen der Funktion $f(x)$ ermittelt bzw. wie lauten denn diese?
Dann wirst Du feststellen, daß die Grundseite unseres gesuchten Dreieckes immer gleich lang ist, nämlich: $g \ = \ [mm] x_{N2} [/mm] - [mm] x_{N1} [/mm] \ = \ ...$
Die Höhe entspricht (mal wieder) dem Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] an der gesuchten Stelle [mm] $x_0$.
[/mm]
Wieder einmal hilft hier auch eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Flächeninhalt unseres Dreieckes wird natürlich wieder mit [mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g$ [/mm] berechnet.
Kommst Du nun weiter?
Poste doch mal Deine Ergebnisse ...
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hallo loddar,
eine skizze hatte ich mir auch schon gemacht, dementsprechend konnte ich auch die nullstellen ablesen. Dass mit der Grundseite verstehe ich noch nicht so ganz.
gruß anni
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ok, das ist ja ziemlich klar. meine funktion sieht dann so aus:
[mm] A(x)=2,5x*\wurzel{1- \bruch{1}{5}x}
[/mm]
und die ableitung:
A(x)= [mm] -\bruch{1}{4}x*(1- \bruch{1}{5}x)^{-0,5}
[/mm]
und nun möchte ich gerne extrema bestimmen und es auch hinbekommen. mein problem ist die funktion. was soll ich anwenden, damit ich leicht extrema bestimmen kann?
gruß anni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anni!
> [mm]A(x)=2,5x*\wurzel{1- \bruch{1}{5}x}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> und die ableitung:
> A(x)= [mm]-\bruch{1}{4}x*(1- \bruch{1}{5}x)^{-0,5}[/mm]
Um diese Funktion abzuleiten, mußt Du mit der  Produktregel arbeiten.
Alternativ kannst Du Deine Funktion auch erstmal umformen zu:
[mm]A(x) \ = \ 2,5 * x * \wurzel{1- \bruch{1}{5}x}[/mm]
[mm]A(x) \ = \ 2,5 * \wurzel{x^2} * \wurzel{1- 0,2x}[/mm]
[mm]A(x) \ = \ 2,5 * \wurzel{x^2 * (1- 0,2x)}[/mm]
[mm]A(x) \ = \ 2,5 * \wurzel{x^2 - 0,2x^3}[/mm]
[mm]A(x) \ = \ 2,5 * (x^2 - 0,2x^3)^{0,5}[/mm]
Vorteil ist hier, daß Du die Produktregel umgehen kannst (Du benötigst nur Potenzregel und Kettenregel).
Kontrollergebnis für die Ableitung (bitte nachrechnen):
[mm]A'(x) \ = \ 2,5 * 0,5 * (x^2 - 0,2x^3)^{-0,5} * (2x - 0,6x^2)[/mm]
[mm]A'(x) \ = \ \bruch{2,5 * x * (1 - 0,75x)}{\wurzel{x^2 - 0,2x^3}} \ = \ \bruch{2,5 * (1 - 0,75x)}{\wurzel{1 - 0,2x}} [/mm]
> und nun möchte ich gerne extrema bestimmen und es auch
> hinbekommen. mein problem ist die funktion. was soll ich
> anwenden, damit ich leicht extrema bestimmen kann?
Wenn Du Funktionen hast mit negativem Exponenten (= Hochzahl), würde ich versuchen, das auf einen Bruch zu schreiben (s.o.).
Die Nullstellen solcher Ausdrücke sind dann genau die Nullstellen des Zählers.
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Sa 19.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Anni
Wenn eine positive Funktion irgendwo ihr Maximum (Minimum) hat, hat auch das Quadrat der Funktion an der Stelle ein Maximum (Minimum). Das vereinfacht das Problem bei Wurzelfunktionen oft sehr!
Und es hilft oft, wenn man maximale Flächeninhalte oder Volumen oder dergl. sucht, die ja immer positiv sind!
Gruss leduart
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
