untere Dreiecksmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mi 23.10.2013 | | Autor: | evgeniya |
| Aufgabe | Eine Matrix [mm] A=(a_{ij})\in M_{nn}(K) [/mm] heisst untere Dreiecksmatrix, falls [mm] a_{ij}=0 [/mm] für 1 < i < j [mm] \le [/mm] n. Sei
[mm] A=\pmat{ -4 & -2 & -2\\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2 } \in M_{33}(\IR). [/mm] Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S, sodass SA eine untere Dreiecksmatrix ist. |
Hallo Forum,
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://math.stackexchange.com/questions/536911/lower-triangular-matrix
ich überlege und komme an einer Aufgabe nicht weiter. Gegeben ist eine quadratische Matrix über [mm] \IR [/mm] der Form:
[mm] A=\pmat{ -4 & -2 & -2\\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2 }
[/mm]
Ich soll nun eine invertierbare Matrix S finden, so dass SA=C und C eine untere Dreiecksmatrix ist.
In der zugehörigen Vorlesungseinheit zu diesen Aufgaben wurden die Themen behandelt: Gauss-Algorithmus, Elementarmatritzen, Transformationsmatrix.
Ich weiß, dass ich Elementarmatrizen zu einer Transformationsmatrix multiplizieren kann und diese von links an eine Matrix multiplizieren kann, sodass eine Matrix in Treppenstufenform entsteht. Dies ist ja im Grunde der Gauss-Algorithmus.
Ich könnte also zu einer Matrix eine Transformationsmatrix finden, sodass im Ergebnis eine Matrix in Treppenstufenform herauskommt.
Bei der gegebenen Matrix wäre eine Treppenstufenform aber dies:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Eine untere Dreiecksmatrix ist aber für die jeweiligen Spalten- und Zeilenindizes (i und j) so definiert: [mm] \pmat{ 1 < i < j \le n}
[/mm]
Und es erscheint mir aus dieser Überlegung gar nicht möglich eine invertierbare Matrix S zu finden.
Ich komme gedanklich von dieser Überlegung nicht weg und bin verwirrt. Kann es vielleicht doch eine derartige Matrix S geben ? Es besteht doch gar keine Möglichkeit das Element [mm] a_{23} [/mm] gleich 0 zu setzen. Ich bitte um Tipps und Gedankenanstöße
viele Grüße,
Evgeniya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi,
na das wäre doch eine Dreiecksmatrix. Es muss nur gelten: [mm] a_{i,j}=0, [/mm] für 1 < i < j [mm] \le [/mm] n. Dies schließt aber nicht aus, dass auch andere Einträge 0 sein können.
Aber wie sieht denn deine Transformationsmatrix aus?
LG,
DrRiese
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mi 23.10.2013 | | Autor: | evgeniya |
Achso, ich habe mich aus irgendeinem Grund darauf versteift, dass die Diagonalelemente ja ungleich 0 sein müssten. Dies ist aber lt. der gegebenen Definition gar nicht so. Auf diese Weise finde ich natürlich einfach eine Transformationsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Diese muss natürlich invertierbar sein, denn die Transformationsmatrix ist nur ein Produkt von Elementarmatrizen. Da Elementarmatrizen invertierbar sind ist es natürlich auch das Produkt
Aber irgendwie ärgere ich mich, dass ich von etwas ausgehe was gar nicht in der Aufgabe steht. Nirgendwo stand, dass die untere Dreiecksmatrix auf der Diagonalen Elemente != 0 haben müsse und ich habe es konsequent ignoriert :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Do 24.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Die untere Zeile und somit auch ein Diagonalelement muss ja 0 sein, da die Zeilen /Spalten linear abhängig sind 
Die Transformationsmatrix müsstest du aber noch einmal bestimmen, da gilt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ -4 & -2 & -2 \\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & -2} [/mm] = [mm] \pmat{ -4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2} [/mm] und somit keine untere Dreiecksmatrix...
LG,
DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 26.10.2013 | | Autor: | evgeniya |
[mm] \pmat{ -4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2}
[/mm]
ist keine untere Dreiecksmatrix ? Ich dachte laut Definition 1 < i < j [mm] \le [/mm] n muss eine untere Dreiecksmatrix so aussehen:
[mm] \pmat{ * & 0 & 0 \\ * & * & 0 \\ * & * & *} [/mm] und das ist doch der Fall:
[mm] a_{12}=0, a_{13}=0, a_{23}=0
[/mm]
Wo ist der Denkfehler ? Lineare Abhängigkeit Kenne ich eigentlich lt. Vorlesung noch gar nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Sa 26.10.2013 | | Autor: | evgeniya |
da ist noch ein Fehler in der Definition der unteren Dreiecksmatrix: 1 [mm] \le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n
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> [mm]\pmat{ -4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2}[/mm]
>
> ist keine untere Dreiecksmatrix ?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das ist eine untere Dreiecksmatrix, denn oberhalb der Hauptdiagonalen gibt es nur Nullen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Sa 26.10.2013 | | Autor: | evgeniya |
Hallo Angela,
dann sollte ich ja die Aufgabe richtig gelöst haben. Im Kurs wurde der Name untere bzw. obere Dreiecksmatrix gar nicht erwähnt. Es gab nur die Definition in der Aufgabenstellung. Aber ich habe ja eine invertierbare Matrix S gefunden, so das SA=untere Dreieckmatrix.
DrRiese meinte, die Transformationsmatrix stimmt nicht und ergibt eben keine untere Dreiecksmatrix. Vielleicht hat er sich auf meine falsch notierte Definition bezogen. lg evgeniya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 So 27.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Ne, sorry hatte da ein Denkfehler. Hatte in dem Moment im Kopf bei der unteren Dreiecksmatrix sind alle unteren Einträge gleich 0 :-D
LG
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