unterbestimmtes Gl.system < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Do 30.11.2006 | | Autor: | zoro |
| Aufgabe | Hallo alle zusammen!
Ich hab folgendes Problem:
ein unterbestimmtes Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und 39 Unbekannten!!!
Dies will ich lösen, allerdings mit folgender Bedingung:
-Die gesuchten, unbekannten 39 Parametern müssen in der Lösung alle positiv sein (wichtig) |
Mir ist bekannt dass ein unterbestimmtes Gl.system durch Annährunsverfahren gelöst wird. Dies habe ich auch versucht und bekomme aber unteranderen auch negative Lösungswerte. Genau dass soll nicht sein!
Meine Frage: Wie und bei welchem Verfahren kann man diese Bedienung setzen, dass alle Unbekanten, in dem Lösungsvektor positiv sein sollen.
Ob das überhaupt möglich ist???
Wie auch immer, ich wäre euch echt für jeden Lösungsvorschlag dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo zoro,
> Ich hab folgendes Problem:
> ein unterbestimmtes Gleichungssystem mit 6 Gleichungen und
> 39 Unbekannten!!!
> Dies will ich lösen, allerdings mit folgender Bedingung:
> -Die gesuchten, unbekannten 39 Parametern müssen in der
> Lösung alle positiv sein (wichtig)
> Mir ist bekannt dass ein unterbestimmtes Gl.system durch
> Annährunsverfahren gelöst wird. Dies habe ich auch versucht
> und bekomme aber unteranderen auch negative Lösungswerte.
> Genau dass soll nicht sein!
> Meine Frage: Wie und bei welchem Verfahren kann man diese
> Bedienung setzen, dass alle Unbekanten, in dem
> Lösungsvektor positiv sein sollen.
> Ob das überhaupt möglich ist???
Im allgemeinen Fall sicher nicht, eine der Gleichungen könnte ja lauten [mm] $x_1=-1$
[/mm]
> Wie auch immer, ich wäre euch echt für jeden
> Lösungsvorschlag dankbar.
Vielleicht kann man eine positive Lösung einfacher ablesen, wenn man den Lösungsraum parametrisiert darstellt, bei z.B. 3 Gleichungen und 6 Unbekannten bspw.
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6}=\vektor{1\\-1\\1\\0\\0\\0}+x_4*\vektor{-5\\0\\1\\1\\0\\0}+x_5*\vektor{-3\\1\\1\\0\\1\\0}+x_6*\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\1}$
[/mm]
(Dabei sind [mm] $x_4,x_5,x_6$ [/mm] die freien Variablen des LGS)
Nun kann man folgende Ungleichungen aufstellen (zusätzlich zu [mm] $x_1,\ldots,x_6>0$):
[/mm]
I [mm] $-5x_4-3x_5+x_6>-1$
[/mm]
II [mm] $x_5+2x_6>1$
[/mm]
III [mm] $x_4+x_5+3x_6>-1$
[/mm]
Die Variablen mit negativen Koeefizienten wähle ich möglichst klein:
Wähle [mm] $x_4=2$, $x_5=1$ $\Rightarrow\ x_6>12$ [/mm] also [mm] $x_6=13$
[/mm]
Dann erhalte ich
[mm] $\vektor{1\\-1\\1\\0\\0\\0}+2*\vektor{-5\\0\\1\\1\\0\\0}+\vektor{-3\\1\\1\\0\\1\\0}+13*\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\1}=\vektor{1\\26\\43\\2\\1\\13}$
[/mm]
Das Ganze erinnert mich ein bisschen an die lineare Optimierung, vielleicht hilft es ja (ich sehe es nicht), in dem obigen Ungleichungssystem ebenfalls "Schlupfvariablen" einzuführen
I [mm] $-5x_4-3x_5+x_6+x_7=-1$
[/mm]
II [mm] $x_5+2x_6+x_8=1$
[/mm]
III [mm] $x_4+x_5+3x_6+x_9=-1$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
