unstetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, f(x,y)=\begin{cases} \bruch{1}{|x|+|y|}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
zeige, dass f in (0,0) nicht stetig ist |
[mm] sei(x_n,y_n)=(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] f(x_n,y_n)=\bruch{1}{|\bruch{1}{n}|+|\bruch{1}{n}|}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2(|\bruch{1}{n}|)}=|\bruch{n}{2}|
[/mm]
für n gegen [mm] \infty [/mm] geht f auch gegen unendlich, deshalb nicht stetig.
ist das einigermaßen ok?
danke
ki
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Hallo kioto,
> [mm]f:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR, f(x,y)=\begin{cases} \bruch{1}{|x|+|y|}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ gerade} \\
0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> zeige, dass f in (0,0) nicht stetig ist
> [mm]sei(x_n,y_n)=(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n})[/mm]
Dann: [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)$, [/mm] aber ...
>
> [mm]f(x_n,y_n)=\bruch{1}{|\bruch{1}{n}|+|\bruch{1}{n}|}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2(|\bruch{1}{n}|)}=|\bruch{n}{2}|[/mm]
> für n gegen [mm]\infty[/mm] geht f auch gegen unendlich, deshalb
> nicht stetig.
Jo!
>
> ist das einigermaßen ok?
Ja!
Hier auch ein kleiner schneller plot zur Veranschaulichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> danke
> ki
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
danke!
nun hab ich noch ne fkt
[mm] g:\IR^2 [/mm] -> [mm] \IR, g(x,y)=xy\bruch{(|x|-|y|)^2}{(|x|+|y|)} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
da muss ich zeigen dass sie auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] stetig ist.
funktioniert es hier genau so wie die letzte?
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Hallo nochmal,
> danke!
> nun hab ich noch ne fkt
> [mm]g:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR, g(x,y)=xy\bruch{(|x|-|y|)^2}{(|x|+|y|)}[/mm]
> für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm]
> da muss ich zeigen dass sie auf ganz [mm]\IR^2[/mm] stetig ist.
> funktioniert es hier genau so wie die letzte?
Jein  Hier ist es quasi umgekehrt.
Hier sollst du zeigen, dass die Funktion in $(0,0)$ durch die Definition $f(0,0)=??$ stetig fortgesetzt werden kann. Außerhalb von $(0,0)$ ist sie ja stetig, kritisch ist nur $(0,0)$.
Das musst du untersuchen ...
Wie könnte man $f(0,0)$ definieren und beweisen, dass dies dann auch eine stetige Fortsetzung ist?
Dazu musst du dir Gedanken machen ...
Vllt. hilft ein Übergang zu Polarkoordinaten, damit du dir einen Überblick verschaffen kannst ..
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
auch hier ein plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo nochmal,
>
hi hi
>
> > danke!
> > nun hab ich noch ne fkt
> > [mm]g:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR, g(x,y)=xy\bruch{(|x|-|y|)^2}{(|x|+|y|)}[/mm]
> > für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm]
> > da muss ich zeigen dass sie auf ganz [mm]\IR^2[/mm] stetig ist.
> > funktioniert es hier genau so wie die letzte?
>
> Jein Hier ist es quasi umgekehrt.
>
> Hier sollst du zeigen, dass die Funktion in [mm](0,0)[/mm] durch die
> Definition [mm]f(0,0)=??[/mm] stetig fortgesetzt werden kann.
> Außerhalb von [mm](0,0)[/mm] ist sie ja stetig, kritisch ist nur
> [mm](0,0)[/mm].
>
meinst du f(0,0)=0?
> Das musst du untersuchen ...
>
> Wie könnte man [mm]f(0,0)[/mm] definieren und beweisen, dass dies
> dann auch eine stetige Fortsetzung ist?
>
> Dazu musst du dir Gedanken machen ...
>
> Vllt. hilft ein Übergang zu Polarkoordinaten, damit du dir
> einen Überblick verschaffen kannst ..
>
muss ich hier [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] mit cos und sin definieren? und sie dann gegen 0 laufen lassen?
also......normale zahlen sind mit eig. lieber, mit cos und sin seht gleich alles noch komplizierter aus
> Gruß
>
> schachuzipus
>
danke!
ki
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Hallo nochmal,
> > Hier sollst du zeigen, dass die Funktion in [mm](0,0)[/mm] durch die
> > Definition [mm]f(0,0)=??[/mm] stetig fortgesetzt werden kann.
> > Außerhalb von [mm](0,0)[/mm] ist sie ja stetig, kritisch ist nur
> > [mm](0,0)[/mm].
> >
> meinst du f(0,0)=0?
Die Funktion heißt ja hier [mm]g[/mm]
Aber ja, wieso bietet sich nur [mm]g(0,0):=0[/mm] als (stetige?) Fortsetzung an?
>
> > Das musst du untersuchen ...
> >
> > Wie könnte man [mm]f(0,0)[/mm] definieren und beweisen, dass dies
> > dann auch eine stetige Fortsetzung ist?
> >
> > Dazu musst du dir Gedanken machen ...
> >
> > Vllt. hilft ein Übergang zu Polarkoordinaten, damit du dir
> > einen Überblick verschaffen kannst ..
> >
> muss ich hier [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] mit cos und sin definieren? und
> sie dann gegen 0 laufen lassen?
> also......normale zahlen sind mit eig. lieber, mit cos und
> sin seht gleich alles noch komplizierter aus
Naja, du kannst alternativ entweder über die [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Definition der Stetigkeit gehen oder das Folgenkriterium benutzen:
Problem beim Folgenkrit.: es muss für jede Folge [mm](x_n,y_n)[/mm] mit [mm](x_n,y_n)\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} (0,0)[/mm] gelten, dass auch [mm]g(x_n,y_n)\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0[/mm] gilt.
Egal, auf welchem Weg du dich dem Urprung näherst, ob auf einer Gerade, iauf einem Schlingerkurs ...
Das FK eignet sich eher dazu, Stetigkeit zu widerlegen, wie in der anderen Aufgabe.
Durch den Übergang zu Polarkoordinaten [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm] sieht man schnell ein, dass [mm]f(r,\varphi)[/mm] unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] (also unabh. vom "Kurs") für [mm]r\to 0^+[/mm] gegen [mm]0=:g(0,0)[/mm] strebt.
Das scheint mir im Vergleich zu den "drohenden" Abschätzungen im [mm] $\varepsilon-\delta$-Krit. [/mm] ein "netterer" Weg zu sein ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo
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> > > Hier sollst du zeigen, dass die Funktion in [mm](0,0)[/mm] durch die
> > > Definition [mm]f(0,0)=??[/mm] stetig fortgesetzt werden kann.
> > > Außerhalb von [mm](0,0)[/mm] ist sie ja stetig, kritisch ist nur
> > > [mm](0,0)[/mm].
> > >
> > meinst du f(0,0)=0?
>
> Die Funktion heißt ja hier [mm]g[/mm]
>
> Aber ja, wieso bietet sich nur [mm]g(0,0):=0[/mm] als (stetige?)
> Fortsetzung an?
hm....weil da ne summe ist und das auch noch ein betrag ist?
> >
> > > Das musst du untersuchen ...
> > >
> > > Wie könnte man [mm]f(0,0)[/mm] definieren und beweisen, dass dies
> > > dann auch eine stetige Fortsetzung ist?
> > >
> > > Dazu musst du dir Gedanken machen ...
> > >
> > > Vllt. hilft ein Übergang zu Polarkoordinaten, damit du dir
> > > einen Überblick verschaffen kannst ..
> > >
> > muss ich hier [mm]x_n[/mm] und [mm]y_n[/mm] mit cos und sin definieren? und
> > sie dann gegen 0 laufen lassen?
> > also......normale zahlen sind mit eig. lieber, mit cos
> und
> > sin seht gleich alles noch komplizierter aus
>
> Naja, du kannst alternativ entweder über die
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Definition der Stetigkeit gehen oder das
> Folgenkriterium benutzen:
>
> Problem beim Folgenkrit.: es muss für jede Folge [mm](x_n,y_n)[/mm]
> mit [mm](x_n,y_n)\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} (0,0)[/mm]
> gelten, dass auch
> [mm]g(x_n,y_n)\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0[/mm] gilt.
>
> Egal, auf welchem Weg du dich dem Urprung näherst, ob auf
> einer Gerade, iauf einem Schlingerkurs ...
>
> Das FK eignet sich eher dazu, Stetigkeit zu widerlegen, wie
> in der anderen Aufgabe.
>
> Durch den Übergang zu Polarkoordinaten [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm]
> sieht man schnell ein, dass [mm]f(r,\varphi)[/mm] unabh. vom Winkel
> [mm]\varphi[/mm] (also unabh. vom "Kurs") für [mm]r\to 0^+[/mm] gegen
> [mm]0=:g(0,0)[/mm] strebt.
>
> Das scheint mir im Vergleich zu den "drohenden"
> Abschätzungen im [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Krit. ein "netterer"
> Weg zu sein ...
wenn du schon so sagst, dann versuch ichs einfach mal, aber wenn ich
[mm] x_n=rcos(\varphi) [/mm] und [mm] y_n=r(\varphi) [/mm] definiere und (r, [mm] \varphi) [/mm] gegen 0 laufen lasse, dann ist xy doch schon gleich 0, der bruch dahinten brauch ich doch gar nicht mehr zu beachten oder nicht?
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
danke
ki
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Hallo nochmal,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht, so ist es sehr unübersichtlich
> > Aber ja, wieso bietet sich nur [mm]g(0,0):=0[/mm] als (stetige?)
> > Fortsetzung an?
> hm....weil da ne summe ist und das auch noch ein betrag
> ist?
Nein, wenn du eine Beispielfolge einsetzt, etwa die aus 1), also [mm](x_n,y_n)=(1/n,1/n)[/mm], so strebt [mm]g(x_n,y_n)[/mm] gegen [mm]0[/mm]
Das kann also nur der einzige infrage kommende Wert für eine stetige Fortsetzung sein.
Es muss ja für alle Folgen [mm](x_n,y_n)[/mm], die gegen [mm](0,0)[/mm] streben, [mm]g(x_n,y_n)[/mm] gegen ein- und denselben Wert streben.
> wenn du schon so sagst, dann versuch ichs einfach mal,
> aber wenn ich
> [mm]x_n=rcos(\varphi)[/mm] und [mm]y_n=r(\varphi)[/mm] definiere und (r, [mm]\varphi)[/mm] gegen 0 laufen lasse,
Nein, du betrachtest nur [mm]r\to 0[/mm] (rechtsseitig)
> dann ist xy doch schon
> gleich 0,
es strebt gegen [mm]0[/mm]
> der bruch dahinten brauch ich doch gar nicht mehr
> zu beachten oder nicht?
Was, wenn der Bruch gegen [mm]\infty[/mm] strebt?
Was ist dann [mm]0\cdot{}\infty[/mm] ?
Schreibe mal konkret [mm]g(r,\varphi)[/mm] hin.
Da kannst du überall mal [mm]r[/mm] ausklammern ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo schachuzipus
> > der bruch dahinten brauch ich doch gar nicht mehr
> > zu beachten oder nicht?
>
> Was, wenn der Bruch gegen [mm]\infty[/mm] strebt?
>
> Was ist dann [mm]0\cdot{}\infty[/mm] ?
>
ist es dann nicht 0?
> Schreibe mal konkret [mm]f(r,\varphi)[/mm] hin.
>
> Da kannst du überall mal [mm]r[/mm] ausklammern ...
>
f(r, [mm] \varphi)=(rcos(\varphi), rsin(\varphi))\bruch{(|rcos(\varphi)|-|rsin(\varphi)|)^2}{|rcos(\varphi)|+|rsin(\varphi)|}
[/mm]
[mm] =r(cos(\varphi), sin(\varphi))\bruch{(|cos(\varphi)|-|sin(\varphi)|)^2}{|cos(\varphi)|+|sin(\varphi)|}
[/mm]
für r -> 0 ist das ganze ach 0?
danke
ki
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Hallo nochmal,
> hallo schachuzipus
> > > der bruch dahinten brauch ich doch gar nicht mehr
> > > zu beachten oder nicht?
> >
> > Was, wenn der Bruch gegen [mm]\infty[/mm] strebt?
> >
> > Was ist dann [mm]0\cdot{}\infty[/mm] ?
> >
> ist es dann nicht 0?
Ist das nicht unbestimmt?
> > Schreibe mal konkret [mm]f(r,\varphi)[/mm] hin.
> >
> > Da kannst du überall mal [mm]r[/mm] ausklammern ...
> >
> f(r, [mm]\varphi)=(rcos(\varphi), rsin(\varphi))\bruch{(|rcos(\varphi)|-|rsin(\varphi)|)^2}{|rcos(\varphi)|+|rsin(\varphi)|}[/mm]
Nana, es ist [mm]g(r,\varphi)=r\cos(\varphi)\cdot{}r\sin(\varphi)\cdot{}\frac{(|r\cos(\varphi)|-|r\sin(\varphi|)^2}{|r\cos(\varphi)|+|r\sin(\varphi)|}=r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cdot{}\frac{|r|^2\cdot{}(|\cos(\varphi)-|\sin(\varphi)|)^2}{|r|\cdot{}(|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|)}[/mm]
[mm]=r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cdot{}\frac{(|\cos(\varphi)-|\sin(\varphi)|)^2}{|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|}[/mm]
Kann hier der Nenner [mm] $|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|$ [/mm] noch irgendwelche Probleme machen? Sprich: Wird das irgendwie 0 für [mm] $\varphi\in(0,2\pi]$ [/mm] ?
Überlege dir das und dann lasse [mm] $r\to [/mm] 0$ gehen. Was passiert?
>
> [mm]=r(cos(\varphi), sin(\varphi))\bruch{(|cos(\varphi)|-|sin(\varphi)|)^2}{|cos(\varphi)|+|sin(\varphi)|}[/mm]
>
> für r -> 0 ist das ganze ach 0?
So wird es sein, aber fülle mal die kleine Lücke oben
>
> danke
> ki
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo nochmal,
>
>
> > hallo schachuzipus
> > > > der bruch dahinten brauch ich doch gar nicht mehr
> > > > zu beachten oder nicht?
> > >
> > > Was, wenn der Bruch gegen [mm]\infty[/mm] strebt?
> > >
> > > Was ist dann [mm]0\cdot{}\infty[/mm] ?
> > >
> > ist es dann nicht 0?
>
> Ist das nicht unbestimmt?
das kann doch nur 0 sein, oder mache ich was falsch?
> > > Schreibe mal konkret [mm]f(r,\varphi)[/mm] hin.
> > >
> > > Da kannst du überall mal [mm]r[/mm] ausklammern ...
> > >
> > f(r, [mm]\varphi)=(rcos(\varphi), rsin(\varphi))\bruch{(|rcos(\varphi)|-|rsin(\varphi)|)^2}{|rcos(\varphi)|+|rsin(\varphi)|}[/mm]
>
> Nana, es ist
> [mm]g(r,\varphi)=r\cos(\varphi)\cdot{}r\sin(\varphi)\cdot{}\frac{(|r\cos(\varphi)|-|r\sin(\varphi|)^2}{|r\cos(\varphi)|+|r\sin(\varphi)|}=r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cdot{}\frac{|r|^2\cdot{}(|\cos(\varphi)-|\sin(\varphi)|)^2}{|r|\cdot{}(|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|)}[/mm]
>
> [mm]=r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cdot{}\frac{(|\cos(\varphi)-|\sin(\varphi)|)^2}{|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|}[/mm]
>
> Kann hier der Nenner [mm]|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|[/mm] noch
> irgendwelche Probleme machen? Sprich: Wird das irgendwie 0
> für [mm]\varphi\in(0,2\pi][/mm] ?
eigentlich kann das ja nicht mehr sein, selbst wenn ich bei beiden 0 einsetze, dann kommt ja auch nicht 0 raus
> Überlege dir das und dann lasse [mm]r\to 0[/mm] gehen. Was
> passiert?
>
> >
> > [mm]=r(cos(\varphi), sin(\varphi))\bruch{(|cos(\varphi)|-|sin(\varphi)|)^2}{|cos(\varphi)|+|sin(\varphi)|}[/mm]
>
> >
> > für r -> 0 ist das ganze ach 0?
>
> So wird es sein, aber fülle mal die kleine Lücke oben
ist jetzt alles richtig mit deiner korrektur oben? :)
> >
> > danke
> > ki
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
> >
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> > > hallo schachuzipus
> > > > > der bruch dahinten brauch ich doch gar nicht
> mehr
> > > > > zu beachten oder nicht?
> > > >
> > > > Was, wenn der Bruch gegen [mm]\infty[/mm] strebt?
> > > >
> > > > Was ist dann [mm]0\cdot{}\infty[/mm] ?
> > > >
> > > ist es dann nicht 0?
> >
> > Ist das nicht unbestimmt?
> das kann doch nur 0 sein, oder mache ich was falsch?
Wieso sollte das denn 0 sein?
Begründe mal!
> > > > Schreibe mal konkret [mm]f(r,\varphi)[/mm] hin.
> > > >
> > > > Da kannst du überall mal [mm]r[/mm] ausklammern ...
> > > >
> > > f(r, [mm]\varphi)=(rcos(\varphi), rsin(\varphi))\bruch{(|rcos(\varphi)|-|rsin(\varphi)|)^2}{|rcos(\varphi)|+|rsin(\varphi)|}[/mm]
>
> >
> > Nana, es ist
> >
> [mm]g(r,\varphi)=r\cos(\varphi)\cdot{}r\sin(\varphi)\cdot{}\frac{(|r\cos(\varphi)|-|r\sin(\varphi|)^2}{|r\cos(\varphi)|+|r\sin(\varphi)|}=r^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cdot{}\frac{|r|^2\cdot{}(|\cos(\varphi)-|\sin(\varphi)|)^2}{|r|\cdot{}(|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|)}[/mm]
> >
> >
> [mm]=r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)\cdot{}\frac{(|\cos(\varphi)-|\sin(\varphi)|)^2}{|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|}[/mm]
> >
> > Kann hier der Nenner [mm]|\cos(\varphi)|+|\sin(\varphi)|[/mm] noch
> > irgendwelche Probleme machen? Sprich: Wird das irgendwie 0
> > für [mm]\varphi\in(0,2\pi][/mm] ?
> eigentlich kann das ja nicht mehr sein, selbst wenn ich
> bei beiden 0 einsetze, dann kommt ja auch nicht 0 raus
Der Nenner wäre nur dann 0, wenn [mm] $\cos(\varphi)=\sin(\varphi)=0$ [/mm] wäre, das geht aber nicht, Sinus und Kosinus haben keine gemeinsamen Nullstellen!
> > Überlege dir das und dann lasse [mm]r\to 0[/mm] gehen. Was
> > passiert?
> >
> > >
> > > [mm]=r(cos(\varphi), sin(\varphi))\bruch{(|cos(\varphi)|-|sin(\varphi)|)^2}{|cos(\varphi)|+|sin(\varphi)|}[/mm]
>
> >
> > >
> > > für r -> 0 ist das ganze ach 0?
> >
> > So wird es sein, aber fülle mal die kleine Lücke oben
> ist jetzt alles richtig mit deiner korrektur oben? :)
M.E. ja!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
jetzt steh ich auf dem schlauch......
wenn der bruch gegen unendlich strebt, xy aber 0 werden, dann ist ja 0 * [mm] \infty, [/mm] das ist nicht 0?
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Hallo nochmal,
> jetzt steh ich auf dem schlauch......
> wenn der bruch gegen unendlich strebt, xy aber 0 werden,
> dann ist ja 0 * [mm]\infty,[/mm] das ist nicht 0?
Nöö, wieso?
Zb:
1) [mm]n\cdot{}\frac{1}{n^2}\rightarrow \infty\cdot{}0[/mm]
Andererseits [mm]n\cdot{}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}\rightarrow 0[/mm]
Hier also " [mm]\infty\cdot{}0=0[/mm] "
2) [mm]n^2\cdot{}\frac{1}{n}\rightarrow \infty\cdot{}0[/mm]
Andererseits [mm]n^2\cdot{}\frac{1}{n}=n\rightarrow\infty[/mm]
Also hier " [mm]\infty\cdot{}0=\infty[/mm] "
3) [mm]n\cdot{}\frac{1}{n}\longrightarrow \infty\cdot{}0[/mm]
Aber [mm]n\cdot{}\frac{1}{n}=1\rightarrow 1[/mm], also " [mm]\infty\cdot{}0=1[/mm] "
Ein Dilemma ...
Gruß
schachuzipus
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> [mm]f:\IR^2[/mm] -> [mm]\IR, f(x,y)=\begin{cases} \bruch{1}{|x|+|y|}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Hallo kioto
die Wörter "gerade" und "ungerade" aus dem Muster-
beispiel haben hier wirklich nichts zu suchen !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Sa 23.07.2011 | | Autor: | kioto |
schuldigung...... bei den ganzen codes überseh ich machmal par dinge.....
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