unstetige Inverse < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Sa 06.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion:
f: D [mm] \rightarrow [/mm] [-2,-1] [mm] \rightarrow [/mm] [-1,1]
f(x):= x+1 für x [mm] \in [/mm] [-2,-1) ; x-1 für x [mm] \in [/mm] [1,2]
zeige das f stetig, streng monoton wachsend und bijektiv ist. |
Hallo liebe Gemeinde!
ich weis nicht so recht wo ich anfangen soll...
ich habe probiert für die stetigkeit in die epsilon delta definition einzusetzen und abzuschätzen... allerdings weis ich nicht wie ich f(x) da ordentlich einsetzen soll...
für streng monoton wachsend folgt ja dann aus stetig, injektiv und f(a)<f(b) für alle a,b aus D mit a<b? aber wie zeige ich f(a)<f(b) mit a<b ? auch hier tu ich mir mit dem einsetzen für so eine fallunterscheidung schwer
bijektiv würde dann ja folgen weil aus str. mon wachsend folgt injektiv und surjektiv folgt weil [-1,1] im bild von f liegt?
Bin für jeden Tipp dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten die Funktion:
> f: D [mm]\rightarrow[/mm] [-2,-1] [mm]\rightarrow[/mm] [-1,1]
ist nicht eher $f: D:=[-2,-1) [mm] \cup [/mm] [1,2] [mm] \to [-1,1]\,$?
[/mm]
> f(x):= x+1 für x [mm]\in[/mm] [-2,-1) ; x-1 für x [mm]\in[/mm] [1,2]
>
> zeige das f stetig, streng monoton wachsend und bijektiv
> ist.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> ich weis nicht so recht wo ich anfangen soll...
>
> ich habe probiert für die stetigkeit in die epsilon delta
> definition einzusetzen und abzuschätzen... allerdings weis
> ich nicht wie ich f(x) da ordentlich einsetzen soll...
Was willst Du denn da groß rechnen? [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig auf [mm] $[-2,-1)\,,$
[/mm]
weil $u: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $u(x):=x+1\,$ [/mm] stetig ist. (Im [mm] $\epsilon$-$\delta$-
[/mm]
Kriterium wähle irgendein $0 < [mm] \delta \le\epsilon$ [/mm] - die Funktion ist nämlich
sogar glm. stetig!)
Ebenso ist die Funktion $v: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $v(x):=x-1\,$ [/mm] stetig. Weil
[mm] $f_{|[-2,-1)}=u_{|[-2,-1)}$ [/mm] und [mm] $f_{|[1,2]}=v_{|[1,2]}$ [/mm] ist und diese
eingeschränkten Abbildungen (rechterhand) auch stetig sind, ist [mm] $f\,$ [/mm]
insgesamt stetig.
(Beachte: Ist eine Abbildung stetig, so auch jede Einschränkung der
Abbildung. Wenn Du magst: Beweise diese Behauptung!)
Wenn Du's mit dem [mm] $\epsilon$-$\delta$ [/mm] doch direkt nachrechnen willst,
ist es sinnvoll, o.E. immer $0 < [mm] \delta \le [/mm] 2 $ anzunehmen. Denn dann
kann man sich überlegen:
Wenn [mm] $x_0$ [/mm] in einem der beiden Intervalle liegt, die den Definitionsbereich
von [mm] $f\,$ [/mm] ja bestimmen, dann müssen alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm]
im selben Intervall wie [mm] $x_0$ [/mm] liegen!
> für streng monoton wachsend folgt ja dann aus stetig,
> injektiv und f(a)<f(b) für alle a,b aus D mit a<b? aber
> wie zeige ich f(a)<f(b) mit a<b ? auch hier tu ich mir mit
> dem einsetzen für so eine fallunterscheidung schwer
Da versteh' ich Dein Problem nicht. Setzen wir mal [mm] $I_1:=[-2,1)\,$ [/mm] und
[mm] $I_2:=[1,2]\,.$ [/mm] Dass [mm] $f_{|I_1}$ [/mm] streng wächst, kann man schon fast
durch Hingucken beweisen. Aber ich schreib's Dir mal formal auf:
Seien $x < [mm] y\,$ [/mm] aus [mm] $I_1\,.$ [/mm] Aus $x < [mm] y\,$ [/mm] folgt $x+1 < [mm] y+1\,.$
[/mm]
Also $f(x)=x+1 < [mm] y+1=f(y)\,.$
[/mm]
Jetzt zeigt man meinetwegen das gleiche auf [mm] $I_2\,,$ [/mm] also dass
[mm] $f_{|I_2}$ [/mm] streng wachsend ist.
Mit dem Zusatz, dass man $f(s) > f(r)$ für alle $s [mm] \in I_2$ [/mm] und $r [mm] \in I_1$
[/mm]
nachweist, folgt, dass [mm] $f\,$ [/mm] (insgesamt) streng wächst.
Eine andere Beweismöglichkeit wäre es, Fallunterscheidungen zu
betreiben:
Seien [mm] $x,y\,$ [/mm] beide aus [mm] $D=I_1 \cup I_2\,,$ [/mm] o.E. $x < [mm] y\,.$
[/mm]
1. Fall: $x,y [mm] \in I_1$ [/mm] (mit [mm] $x
2. Fall: $x [mm] \in I_1$ [/mm] und $y [mm] \in I_2$ [/mm] (mit $x < [mm] y\,$)
[/mm]
3. Fall: $x,y [mm] \in I_2$ [/mm] (mit $x < [mm] y\,$)
[/mm]
> bijektiv würde dann ja folgen weil aus str. mon wachsend
> folgt injektiv und surjektiv folgt weil [-1,1] im bild von
> f liegt?
Was folgt woraus? Also alleine schon aus Deiner wirren Ausdrucksweise
sollte Dir klar sein, dass das nicht alles so einfach zusammenpasst.
Aber: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] streng wachsend ist, und das haben wir oben ja
nachgewiesen (bzw. ich hoffe, Du weißt nun, wie Du das nachweisen
kannst), dann folgt unmittelbar, dass [mm] $f\,$ [/mm] schonmal injektiv ist.
(Ich glaube, das steht in Deinem Satz drin. Wenn ich den richtig
interpretiere. Also das ist Dir klar, denke ich!)
Es bleibt noch die Surjektivität nachzuweisen:
Hier kann man das so machen:
1.) Zeige, dass [mm] $f([-2,1))=[-1,0)\,.$
[/mm]
(Erinnere Dich: [mm] $A=B\,$ [/mm] gilt für Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] definitionsgemäß genau
dann, wenn sowohl $A [mm] \subseteq B\,$ [/mm] als auch $B [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt! )
2.) Zeige, dass [mm] $f([1,2])=[0,1]\,.$
[/mm]
(Selbst, wenn Du das nicht zeigen kannst, dann kannst Du Dir nun
überlegen, wie Du die Surjektivität direkt nachrechnen kannst:
Sei $y [mm] \in [-1,1]\,.$ [/mm] 1. Fall: $y [mm] \in [-1,0)\,.$ [/mm] Setze [mm] $x:=y-1\,.$ [/mm] Dann ist
$x [mm] \in [-2,1)\,,$ [/mm] somit ist [mm] $f(x)=x+1\,$ [/mm] und wegen [mm] $x=y-1\,$ [/mm] also
[mm] $f(x)=y\,.$ [/mm] 2. Fall: $y [mm] \in [0,1]\,.$ [/mm] Setze [mm] $y:=x+1\,.$ [/mm] Warum folgt nun
[mm] $f(x)=y\,$?)
[/mm]
P.S.
Ein Tipp am Rande:
Mal Dir den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] auf - also markiere auf der [mm] $x\,$-Achse
[/mm]
des kartesischen [mm] $\IR^2$ [/mm] den Definitionsbereich von [mm] $f\,.$ [/mm] Nachdem
Du den Graphen gezeichnet hast, markiere Dir auf der [mm] $y\,$-Achse
[/mm]
das Bild von [mm] $f\,.$ [/mm] (=Wertebereich von [mm] $f\,$=Menge [/mm] der angenommenen
Werte).
Weiterer Tipp: Markiere auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] das Intervall [mm] $I_1$ [/mm]
meinetwegen mit rot, und das Intervall [mm] $I_2$ [/mm] mit blau. Und die
Grenzen solltest Du auch mit Klammern kennzeichnen, also ob die
"Grenzzahl" zum Intervall gehört oder nicht. Und nun markiere Dir
das Bild von [mm] $I_1$ [/mm] unter [mm] $f\,$ [/mm] mit der gleichen Farbe auf der [mm] $y\,$-Achse,
[/mm]
also in rot, analog für [mm] $I_2$ [/mm] und [mm] $f(I_2)\,.$
[/mm]
Vermutlich kommt Dir nämlich die Aufgabe hier - warum auch immer,
vielleicht liegt's an fehlender Übung - abstrakt vor. Und mit so einer
Skizze, bzw. man kann den Graphen auch ganz und ordentlich aufzeichnen,
wird's dann vielleicht erstmal ein wenig "griffiger", weil Du so auch "sehen"
kannst, was Du da eigentlich rechnest.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 07.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
DANKE marcel für die ausführliche hilfestellung!
> ist nicht eher [mm]f: D:=[-2,-1) \cup [1,2] \to [-1,1]\,[/mm]?
ja genau sorry
> Was willst Du denn da groß rechnen? [mm]f\,[/mm] ist stetig auf
> [mm][-2,-1)\,,[/mm]
> weil [mm]u: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]u(x):=x+1\,[/mm] stetig ist. (Im
> [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-
> Kriterium wähle irgendein [mm]0 < \delta \le\epsilon[/mm] - die
> Funktion ist nämlich
> sogar glm. stetig!)
>
> Ebenso ist die Funktion [mm]v: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]v(x):=x-1\,[/mm]
> stetig. Weil
> [mm]f_{|[-2,-1)}=u_{|[-2,-1)}[/mm] und [mm]f_{|[1,2]}=v_{|[1,2]}[/mm] ist und
> diese
> eingeschränkten Abbildungen (rechterhand) auch stetig
> sind, ist [mm]f\,[/mm]
> insgesamt stetig.
> (Beachte: Ist eine Abbildung stetig, so auch jede
> Einschränkung der
> Abbildung. Wenn Du magst: Beweise diese Behauptung!)
das versteh ich nicht ganz.. ich verstehe "Ist eine Abbildung stetig, so auch jede Einschränkung der Abbildung. " aber gilt denn auch die umkehrung?
wäre nicht nach dieser argumentation die gleiche funktion mit f(x)=x+1 für x [mm] \in [/mm] [-2,-1) und x-0,9 für x [mm] \in [/mm] [1,2] auch stetig? und ist das nicht falsch? ist es nicht essentiell dass die von dir genannten funktionen u(x) und v(x) aneinander "anschließen"?
> Wenn Du's mit dem [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm] doch direkt nachrechnen
> willst,
Bemerke:
* wenn [mm] x_0 \in [/mm] [-2,-1) dann gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_0|<2 [/mm] dass x [mm] \in [/mm] [-2,-1)
** wenn [mm] x_0 \in [/mm] [1,2] dann gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_0|<2 [/mm] dass x [mm] \in [/mm] [1,2]
Sein nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und sei [mm] 0<\delta=\varepsilon \le [/mm] 2
Fall 1: [mm] x_0 \in [/mm] [-2,-1]
wegen * gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] dass f(x)=x+1
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|<\delta=\varepsilon
[/mm]
wegen ** gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] dass f(x)=x-1
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|<\delta=\varepsilon
[/mm]
Also ist f im gesamten stetig auf ganz D.
Richtig??
streng monoton:
> Eine andere Beweismöglichkeit wäre es,
> Fallunterscheidungen zu
> betreiben:
Seien [mm]x,y\,[/mm] beide aus [mm]D=I_1 \cup I_2\,,[/mm] mit [mm]x < y\,.[/mm]
1. Fall: [mm]x,y \in I_1[/mm] (mit [mm]x
[mm] \Rightarrow [/mm] F(x))x+1<y+1=f(y)
2. Fall: [mm]x,y \in I_2[/mm] (mit [mm]x < y\,[/mm])
[mm] \Rightarrow [/mm] F(x))x-1<y-1=f(y)
3. Fall: [mm]x \in I_1[/mm] und [mm]y \in I_2[/mm] (mit [mm]x < y\,[/mm])
da x [mm] \in I_1 \Rigtharrow [/mm] x<-1, [mm] \quad [/mm] da x [mm] \in I_2 \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] y
[mm] \Rightarrow [/mm] x+1<0 [mm] \le [/mm] y-1 also f(x)<f(y)
Somit gilt [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D und x<y dass f(x)<f(y).
Daher ist f streng monoton wachsend.
bijektivität
> Es bleibt noch die Surjektivität nachzuweisen:
> Hier kann man das so machen:
> 1.) Zeige, dass [mm]f([-2,1))=[-1,0)\,.[/mm]
> (Erinnere Dich: [mm]A=B\,[/mm] gilt für Mengen [mm]A,B\,[/mm]
> definitionsgemäß genau
> dann, wenn sowohl [mm]A \subseteq B\,[/mm] als auch [mm]B \subseteq A[/mm]
> gilt! )
> 2.) Zeige, dass [mm]f([1,2])=[0,1]\,.[/mm]
[mm] f(min(I_1))=-1 \quad f(sup(I_1))=0
[/mm]
wegen f stetig und streng monoton wachsend folgt f([-2,1))=[-1,0)
[mm] f(min(I_2))=0 \quad f(max(I_2))=1
[/mm]
wegen f stetig und streng monoton wachsend folgt f([1,2])=[0,1]
somit ist Im(f)=[-1,0) [mm] \bigcup [/mm] [0,1] =[-1,1]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist surjektiv. f ist injektiv wegen f str. mon wachsend. Also ist f somit bijektiv.
RIchtig so??
> P.S.
> Ein Tipp am Rande:
> Mal Dir den Graphen von [mm]f\,[/mm] auf - also markiere auf der
> [mm]x\,[/mm]-Achse
> des kartesischen [mm]\IR^2[/mm] den Definitionsbereich von [mm]f\,.[/mm]
> Nachdem
> Du den Graphen gezeichnet hast, markiere Dir auf der
> [mm]y\,[/mm]-Achse
> das Bild von [mm]f\,.[/mm] (=Wertebereich von [mm]f\,[/mm]=Menge der
> angenommenen
> Werte).
> Weiterer Tipp: Markiere auf der [mm]x\,[/mm]-Achse das Intervall [mm]I_1[/mm]
> meinetwegen mit rot, und das Intervall [mm]I_2[/mm] mit blau. Und
> die
> Grenzen solltest Du auch mit Klammern kennzeichnen, also
> ob die
> "Grenzzahl" zum Intervall gehört oder nicht. Und nun
> markiere Dir
> das Bild von [mm]I_1[/mm] unter [mm]f\,[/mm] mit der gleichen Farbe auf der
> [mm]y\,[/mm]-Achse,
> also in rot, analog für [mm]I_2[/mm] und [mm]f(I_2)\,.[/mm]
> Vermutlich kommt Dir nämlich die Aufgabe hier - warum
> auch immer,
> vielleicht liegt's an fehlender Übung - abstrakt vor. Und
> mit so einer
> Skizze, bzw. man kann den Graphen auch ganz und ordentlich
> aufzeichnen,
> wird's dann vielleicht erstmal ein wenig "griffiger", weil
> Du so auch "sehen"
> kannst, was Du da eigentlich rechnest.
danke das hat sehr geholfen, mit der skizze habe ich die funktion erst richtig verstanden und die stetigkeit dieser...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> DANKE marcel für die ausführliche hilfestellung!
>
>
> > ist nicht eher [mm]f: D:=[-2,-1) \cup [1,2] \to [-1,1]\,[/mm]?
> ja
> genau sorry
>
> > Was willst Du denn da groß rechnen? [mm]f\,[/mm] ist stetig auf
> > [mm][-2,-1)\,,[/mm]
> > weil [mm]u: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]u(x):=x+1\,[/mm] stetig ist. (Im
> > [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-
> > Kriterium wähle irgendein [mm]0 < \delta \le\epsilon[/mm] - die
> > Funktion ist nämlich
> > sogar glm. stetig!)
> >
> > Ebenso ist die Funktion [mm]v: \IR \to \IR[/mm] mit [mm]v(x):=x-1\,[/mm]
> > stetig. Weil
> > [mm]f_{|[-2,-1)}=u_{|[-2,-1)}[/mm] und [mm]f_{|[1,2]}=v_{|[1,2]}[/mm] ist und
> > diese
> > eingeschränkten Abbildungen (rechterhand) auch stetig
> > sind, ist [mm]f\,[/mm]
> > insgesamt stetig.
> > (Beachte: Ist eine Abbildung stetig, so auch jede
> > Einschränkung der
> > Abbildung. Wenn Du magst: Beweise diese Behauptung!)
>
> das versteh ich nicht ganz.. ich verstehe "Ist eine
> Abbildung stetig, so auch jede Einschränkung der
> Abbildung. " aber gilt denn auch die umkehrung?
stell' doch einfach mal Behauptungen auf und versuche, sie entweder
zu beweisen oder sie zu widerlegen. Das ist eine gute Übung für Dich
selbst.
Aber okay, ich mach's mal für Dich: Ich behaupte: Ist $f: X [mm] \to \IR$ [/mm] für
$X [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine Abbildung, so ist [mm] $f\,$ [/mm] genau dann stetig, wenn
für alle Teilmengen $P [mm] \subseteq X\,$ [/mm] die Abbildung [mm] $f_{|P}$ [/mm] stetig ist.
(Dabei ist [mm] $f_{|P}$ [/mm] für $P [mm] \subseteq [/mm] X$ die Einschränkung von [mm] $f\,$ [/mm] auf
[mm] $P\,,$ [/mm] definiert durch [mm] $f_{|P}(x):=f(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in P\,.$)
[/mm]
Ich beweise Dir das nun:
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Sei [mm] $f\,$ [/mm] stetig. Sei $P [mm] \subseteq X\,.$ [/mm] Sei [mm] $x_0 \in [/mm] P$
beliebig, aber fest. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, fest. Wegen der Stetigkeit
von [mm] $f\,$ [/mm] existiert ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] schon folgt [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Nun ist aber [mm] $\{x \in P: |x -x_0| < \delta\} \subseteq \{\tilde{x} \in X: |\tilde{x}-x_0|< \delta\}\,.$ [/mm] Außerdem [mm] $f_{|P}(x)=f(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in P\,.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $$|f_{|P}(x)-f_{|P}(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [/mm] P$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$: [/mm] Warum genau? Schreib's
AUSFÜRHLICH auf!
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Wenn für alle $P [mm] \subseteq [/mm] X$ nun [mm] $f_{|P}$ [/mm] stetig ist, dann
folgt die Stetigkeit von [mm] $f\,,$ [/mm] weil [mm] $f_{|X}=f\,.$ [/mm] (Beachte auch $X [mm] \subseteq [/mm] X$!) [mm] $\Box$
[/mm]
> wäre nicht nach dieser argumentation die gleiche funktion
> mit f(x)=x+1 für x [mm]\in[/mm] [-2,-1) und x-0,9 für x [mm]\in[/mm] [1,2]
> auch stetig?
Ja! Allerdings dürften wir die Funktion so nicht einfach umdefinieren, denn
der Zielbereich müßte dann insbesondere schonmal $2-0.9=1.1$ enthalten!
Die "umdefinierte Funktion" dürfte also sicher nichtmehr [mm] $\to [/mm] [-1,1]$ da
stehen haben!
> und ist das nicht falsch?
Nein!
> ist es nicht
> essentiell dass die von dir genannten funktionen u(x) und
> v(x) aneinander "anschließen"?
Hat das (hier) nicht eher irgendwas mit der Surjektivität denn mit der
Stetigkeit zu tun?
Beachte bitte, dass der in der Schule gern gesagte Satz "Funktionen sind
nur dann stetig, wenn man sie (deren Graphen) zeichnen kann, ohne den Stift
abzusetzen - sonst nicht" so nur sehr lax gilt. Da gibt's einiges an
Voraussetzungen an den Definitionsbereich - für Funktionen $I [mm] \to \IR$ [/mm] mit
einem INTERVALL $I [mm] \subseteq \IR$ [/mm] könnte man das so sagen. (Ich wäre
dennoch vorsichtig damit und würde es nicht tun!)
Aber insbesondere sind etwa Folgen, im Sinne von Abbildungen [mm] $\IN \to \IR\,,$ [/mm]
stetig. Obwohl ich, wenn ich da den Graphen zeichnen will, immer von
Punkt zu Punkt springe. Funktionen, deren Definitionsbereich aus
isolierten Punkten besteht, sind immer stetig. Denn Funktion sind an
isolierten Punkten stetig! Das ist eigentlich formal schnell gezeigt! Somit
sind auch Funktionen [mm] $\IZ \to \IR$ [/mm] stetig, und Funktionen mit
Definitionsbereich [mm] $\{1/n: n \in \IN\}$ [/mm] sind auch stetig. Funktionen mit
Definitionsbereich [mm] $\{0\} \cup \{1/n: n \in \IN\}$ [/mm] können maximal an einer
Stelle unstetig sein: An welcher?
> > Wenn Du's mit dem [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm] doch direkt nachrechnen
> > willst,
>
> Bemerke:
> * wenn [mm]x_0 \in[/mm] [-2,-1) dann gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D mit
> [mm]|x-x_0|<2[/mm] dass x [mm]\in[/mm] [-2,-1)
> ** wenn [mm]x_0 \in[/mm] [1,2] dann gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D mit
> [mm]|x-x_0|<2[/mm] dass x [mm]\in[/mm] [1,2]
>
> Sein nun [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und sei [mm]0<\delta=\varepsilon \le[/mm]
> 2
>
> Fall 1: [mm]x_0 \in[/mm] [-2,-1]
>
> wegen * gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] dass
> f(x)=x+1
> [mm]\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|<\delta=\varepsilon[/mm]
Da solltest Du [mm] $f(x)=x+1\,$ [/mm] und [mm] $f(x_0)=x_0+1$ [/mm] erstmal einsetzen,
damit ein Korrekteur auch weiß, dass Du da nicht einfach nur was
"geraten" hast. Aber das ist okay!
>
> wegen ** gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] dass
> f(x)=x-1
> [mm]\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|<\delta=\varepsilon[/mm]
Das gleiche wie oben: Den Zwischenschritt [mm] $(x-1)-(x_0-1)=x-1-x_0+1=x-x_0$ [/mm] hast Du Dir gespart,
> Also ist f im gesamten stetig auf ganz D.
>
> Richtig??
Richtig!
> streng monoton:
Ich muss jetzt leider gleich weg. Sollte demnächst sich keiner Deiner Frage
annehmen, werde ich das entweder spät heute abend oder morgen im
Laufe des Tages machen. Aber ich denke, weil das eigentlich nicht sehr
schwer zu kontrollieren ist, dass sich jmd. anderes der Frage annehmen
wird.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal Erinnerung: Es war $f: [-2,-1) [mm] \cup [/mm] [1,2]$ mit $f(x):=x+1$ für
$x [mm] \in I_1:=[-2,1)$ [/mm] und $f(x):=x-1$ für $x [mm] \in I_2:=[1,2]\,.$
[/mm]
> streng monoton:
> > Eine andere Beweismöglichkeit wäre es,
> > Fallunterscheidungen zu
> > betreiben:
> Seien [mm]x,y\,[/mm] beide aus [mm]D=I_1 \cup I_2\,,[/mm] mit [mm]x < y\,.[/mm]
> 1.
> Fall: [mm]x,y \in I_1[/mm] (mit [mm]x
> [mm]\Rightarrow[/mm] F(x))x+1<y+1=f(y)
Ja. Du hast Abtippfehler, aber hier gilt
$$f(x)=x+1 < y+1=f(y)$$
für $x < y$ beide in [mm] $I_1\,.$
[/mm]
> 2. Fall: [mm]x,y \in I_2[/mm] (mit [mm]x < y\,[/mm])
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> F(x))x-1<y-1=f(y)
Die gleichen Tippfehler wie oben:
$$f(x)=x-1 < [mm] y-1=f(y)\,.$$
[/mm]
> 3. Fall: [mm]x \in I_1[/mm] und [mm]y \in I_2[/mm] (mit [mm]x < y\,[/mm])
> da x [mm]\in I_1 \Rigtharrow[/mm]
> x<-1, [mm]\quad[/mm] da x [mm]\in I_2 \Rightarrow[/mm] 1 [mm]\le[/mm] y
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+1<0 [mm]\le[/mm] y-1 also f(x)<f(y)
Genau!
> Somit gilt [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] D und x<y dass f(x)<f(y).
> Daher ist f streng monoton wachsend.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Und war gar nicht soo schwer, oder?)
>
> bijektivität
> > Es bleibt noch die Surjektivität nachzuweisen:
> > Hier kann man das so machen:
> > 1.) Zeige, dass [mm]f([-2,1))=[-1,0)\,.[/mm]
> > (Erinnere Dich: [mm]A=B\,[/mm] gilt für Mengen [mm]A,B\,[/mm]
> > definitionsgemäß genau
> > dann, wenn sowohl [mm]A \subseteq B\,[/mm] als auch [mm]B \subseteq A[/mm]
> > gilt! )
> > 2.) Zeige, dass [mm]f([1,2])=[0,1]\,.[/mm]
>
> [mm]f(min(I_1))=-1 \quad f(sup(I_1))=0[/mm]
> wegen f stetig und
> streng monoton wachsend folgt f([-2,1))=[-1,0)
Man kann durchaus mit Stetigkeitsargumenten kommen - dann werden
Intervalle auf Intervalle abgebildet etc.. Das finde ich hier aber übertrieben,
auch, wenn es natürlich schöne Resultate sind, die sich aus der Theorie
ergeben. (Die Monotonie brauchst Du dann aber nicht!)
Deine Argumente oben reichen so alleine jedenfalls eigentlich nicht aus.
Du brauchst jedenfalls dieses Zusatzargument, dass stetige Funktionen
Intervalle auf Intervalle abbilden! (Folgt aus dem Zwischenwertsatz, und
weil stetige Funktionen auf kompakten Mengen ihr Maximum und Minimum
annehmen - also das kann man jedenfalls für abgeschlossene Intervalle
benutzen! Für offene oder halboffene muss man eventuell ein paar Zusatzüberlegungen machen!)
Ich zeige Dir mal, wie ich gemeint habe, das Du etwa $f([-2,-1))=[-1,0)$
nachweisen sollst (der wichtigere Teil ist hier eigentlich, $[-1,0) [mm] \subseteq [/mm] f([-2,1))$
nachzuweisen!):
Für alle $x [mm] \in I_1=[-2,1)$ [/mm] gilt doch $-2 [mm] \le [/mm] x <-1$ und damit
$-2+1=-1 [mm] \le [/mm] x+1 < [mm] -1\,,$ [/mm] also $f(x) [mm] \in [0,1)\,.$ [/mm] Somit ist $f([-2,1)) [mm] \subseteq [-1,0)\,.$
[/mm]
Jetzt der eigentlich wichtigere Teil: Sei $y [mm] \in [-1,0)\,.$ [/mm] Wir müssen nun ein
$x [mm] \in [/mm] [-2,1)$ so finden, dass $f(x)=x+1=y [mm] \in [/mm] [-1,0)$ gilt. Wir DEFINIEREN
[mm] $x:=y-1\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $f(x)=(y-1)+1=y\,,$ [/mm] wenn wir denn begründen
können, dass $x [mm] \in [-2,-1)\,.$ [/mm] Wegen $-1 [mm] \le [/mm] y < 0$ folgt aber $-2 [mm] \le [/mm] y-1 < [mm] -1\,,$ [/mm]
also ist $y-1=x [mm] \in [-2,1)\,.$ [/mm] Daher folgt $[-1,0) [mm] \subseteq f(I_1)\,.$
[/mm]
Anaolog zeige nun: [mm] $f(I_2)=[0,1]\,.$
[/mm]
Damit folgt:
Weil (insbesondere) $[-1,0) [mm] \subseteq f(I_1)$ [/mm] und $[0,1] [mm] \subseteq f(I_2)$
[/mm]
gilt, ergibt sich wegen [mm] $(f(I_1) \subseteq f(I_2)) \subseteq f(I_1 \subseteq I_2) [/mm] $
(Beweis? Gilt vielleicht sogar [mm] $=\,$? [/mm] Falls ja: Beweis?) insbesondere
$[-1,0) [mm] \cup [/mm] [0,1] [mm] \subseteq f(I_1 \cup I_2)\,.$ [/mm] Diese Teilmengenbeziehung
zeigt die Surjektivität von [mm] $f\,.$ ($f\,$ [/mm] war ja auf [mm] $I_1 \cup I_2$ [/mm] definiert!)
P.S.
Es ist übrigens so, dass strenge Monotonie Injektivität impliziert, aber
umgekehrtes muss nicht gelten: Es gibt injektive Funktionen, die nicht
streng monoton (wachsend oder fallend) sind!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 08.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke marcel für deine überlegungen!
ich habe einen großteil davon nachvollziehen können und verstehe nun wie ich das beispiel lösen kann..
in der übung heute an der uni wurde die surjektivität zu meinem erschrecken mit einem verweis auf den graphen ohne beweis abgehakt o.O
ich muss jetzt leider schon die nächsten beispiele machen und bin etwas unter zeitdruck.
werde mich aber bei freier zeit und muße den offenen fragen nochmals widmen!
jedenfalls ist mir jetzt klarer wie man so etwas proffessionell angeht!
danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke marcel für deine überlegungen!
>
> ich habe einen großteil davon nachvollziehen können und
> verstehe nun wie ich das beispiel lösen kann..
>
> in der übung heute an der uni wurde die surjektivität zu
> meinem erschrecken mit einem verweis auf den graphen ohne
> beweis abgehakt o.O
wenn man weiß, wie, sieht man das schnell (allerdings sollte ein/e
Übungsleiter/in das eigentlich wirklich vorrechnen, und nicht einfach nur
anmalen und sagen: "sieht man" - wenn er/sie das macht, dann sollte
er/sie wenigstens erklären, wieso. Ich hole das mal hier nach!):
Zeichne den Graphen. Alle Punkte [mm] $(x,f(x))\,$ [/mm] des Graphen markierst Du auf
der y-Achse, indem Du $(x,f(x))$ quasi auf [mm] $(0,f(x))\,$ [/mm] abbildest.
Wenn Du so gerade den "y-Achsenbereich" [mm] $\{(0,\tilde{y}): \tilde{y} \in [-1,1]\}\,,$ [/mm] welcher quasi $[-1,1]$ repräsentiert,
vollkommen "abgedeckt" bekommst, weißt Du, dass [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] Teilmenge des Bildes von [mm] $f\,$ [/mm] ist.
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] dann aber eh - wie hier - auch nur nach [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] abbildet, ist
[mm] $f\,$ [/mm] damit surjektiv.
Ist Dir klar, wie man sich das vorstellen kann? Den Graphen stellen wir
uns in einem Koordinatensystem vor, wo wenigstens die [mm] $y\,$-Achse [/mm] senkrecht auf die [mm] $x\,$-Achse [/mm] steht - bzw. wir zeichnen ihn in so einem
KO-System!
Stell' Dir etwa vor, es gibt unendlich viele zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] parallele
Lichtstrahlen, von rechts nach links laufend. Dann wirft der Graph quasi
den Schatten auf die [mm] $y\,$-Achse. [/mm] (Nennt man das Parallelprojektion?
Bräuchte jetzt mal gerade einen Geometrieliebhaber, der mir da bei dem
Begriff helfen kann...)
Würde der Schatten etwa einen Punkt auf der [mm] $y\,$-Achse
[/mm]
[mm] $(0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $y_0 \notin [/mm] [-1,1]$ haben, so würde das bedeuten, dass
[mm] $f\,$ [/mm] gar nicht nur nach $[-1,1]$ abbildet, sondern dass [mm] $y_0$ [/mm] auch im
Bild von [mm] $f\,$ [/mm] liegen würde - also müßte [mm] $y_0$ [/mm] auch im Zielbereich von
[mm] $f\,$ [/mm] liegen.
Würde der Schatten nun den Bereich [mm] $\{(0,y): y \in [-1,1]\}$ [/mm] "treffen",
dieser Bereich aber irgendwo "Lücken" haben, so dürfte man zwar
[mm] $\to [/mm] [-1,1]$ schreiben, aber die Abbildung wäre nicht surjektiv, wenn man
den Zielbereich [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] hat.
Wenn Du magst: Definiere Dir mal ein paar Abbildungen und mach' diese
"Schattenspiele" mit den Graphen, um das vielleicht anschaulich besser
zu verstehen... Ich hoffe mal, dass ich mich nirgendwo falsch oder
missverständlich ausgedrückt habe!
Gruß,
Marcel
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