unitäre Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Do 15.07.2004 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo, habe folgendes Problem:
(a) Sei (V,(,)) unitärer Vektorraum und f: V [mm] \rightarrow [/mm] V ein Endomorphismus mit $(v,f(v))=0$ für alle [mm] v\inV. [/mm] Zeige: f=0.
(b) Zeigen Sie, dass die zu (a) analoge Aussage für euklidische Vekrorräume im Allgemeinen falsch ist.
Meine bisherigen Ansätze:
- f kann keinen Eigenwert [mm] \lambda\ne0 [/mm] besitzen, denn wäre w ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] so würde [mm] (v,f(v))=(v,\lambdav)=\bar\lambda (v,v)\ne0 [/mm] folgen. Somit ist das Problem auf nilpotente Endomorphismen reduziert.
- falls [mm] b_1,...,b_n [/mm] Orthonormalbasis bzgl. (,), und die Matrix A die Matrixdarstellung von f bzgl. dieser Basis, so gilt [mm] (v,f(v))=\beta(v,v) [/mm] für eine durch [mm] $\bar [/mm] A$ bzgl. obiger ONB definierter Sesquilinearform [mm] \beta, [/mm] mit [mm] \beta(b_i,b_i)=0, [/mm] alle i, d.h. die [mm] b_i [/mm] sind Orthogonalbasis bzgl. [mm] \beta.
[/mm]
Aber was sagt das jetzt über f aus? Ich sehe bei meinen bisherigen Überlegungen auch keine Voraussetzungen, die bei Euklid. VR nicht erfüllt sind, außer dass f mind. einen Eigenvektor besitzen muss, da f über [mm] \IC [/mm] trigonalisierbar ist und über [mm] \IR [/mm] nicht unbedingt...
Würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet...
Vielen Dank!
Jan
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Do 15.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Lieber Jan!
Du solltest nicht mit Kanonen (JNF) auf Spatzen schießen. 
Diese elementare Aufgabe lässt sich auch elementar lösen, nämlich mit der Polarisationsformel im Komplexen:
$\langle v, f(w) \rangle = \frac{1}{4} \left( \langle v+w, f(v+w) \rangle - \langle v-w, f(v-w) \rangle + i\, \langle v+iw, f(v+iw)\rangle - i\, \langle v-iw, f(v-iw) \rangle \right)$.
(Ich hoffe ich habe mich nicht verschrieben. )
Folgere daraus:
$\langle v,f(w) \rangle=0$
für alle $v,w \in V$, und daraus dann wiederum die Aussage $f \equiv 0$.
Im Reellen liefert offenbar
$f\left ( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
ein Gegenbeispiel für die Aussage.
Liebe Grüße
Stefan
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