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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Beh.:
Folgende Operatoren sind unitäre Operatoren von [mm] L_2(\mathbb{R}) [/mm] nach [mm] L_2(\mathbb{R}), [/mm] d.h. [mm] \|Tx\| [/mm] = [mm] \|x\| [/mm] für alle x [mm] \in L_2(\mathbb{R}):
[/mm]
(a) Translation um [mm] x_0 \in \mathbb{R}: T_{x_0}f [/mm] := f [mm] (\cdot [/mm] - [mm] x_0)
[/mm]
(b) Dilatation um [mm] x_0 \in \mathbb{R}: D_{\alpha} [/mm] f := [mm] |\alpha|^{-1/2} f(\alpha [/mm] x)
(c) Modulation um [mm] x_0 \in \mathbb{R}: M_{x_0}f [/mm] := [mm] e^{-2 \pi i x_0} [/mm] f |
Hallo,
eine Frage zu der Aufgabe. Bin ich hier so auf dem richtigen Weg?
[mm] \|T_{x_0} [/mm] f(x) [mm] \|_{L_2} [/mm] = [mm] \| [/mm] f [mm] (x-x_0) \| [/mm]
und ich muss zeigen, dass das gleich [mm] \| [/mm] f(x) [mm] \|_{L_2} [/mm] ist?
Aber dann müsste ja
( [mm] \int |f(x-x_0)^2|)^{1/2} [/mm] = ( [mm] \int |f(x)|^2 )^{1/2} [/mm] sein?
Welche Voraussetzung hab ich hier nicht beachtet?
Viel Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo,
> eine Frage zu der Aufgabe. Bin ich hier so auf dem
> richtigen Weg?
>
> [mm]\|T_{x_0}[/mm] f(x) [mm]\|_{L_2}[/mm] = [mm]\|[/mm] f [mm](x-x_0) \|[/mm]
> und ich muss zeigen, dass das gleich [mm]\|[/mm] f(x) [mm]\|_{L_2}[/mm] ist?
Richtig.
> Aber dann müsste ja
> ( [mm]\int |f(x-x_0)^2|)^{1/2}[/mm] = ( [mm]\int |f(x)|^2 )^{1/2}[/mm] sein?
Ja, das ist es ja auch. Benutze die Substitutionsregel bzw. den Transformationsssatz für das Lebesgue-Integral.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Robert,
Danke für deine Antwort.
Leider kenne ich mich mit Lebesgue-Integralen nicht so gut aus. Meinst du ich soll substituieren
y = [mm] x-x_0 [/mm] ? Dann komm ich aber auf das Integral von f(y) dy ... und nicht f(x)... ? Oder brauche ich das gar nicht weil nur der Platzhalter drin war?
Ich hab auch noch gegoogelt und so eine Integralregel mit determinante gefunden, die meintest du aber nicht, oder?
Viele Grüße
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo Robert,
> Danke für deine Antwort.
> Leider kenne ich mich mit Lebesgue-Integralen nicht so gut
> aus. Meinst du ich soll substituieren
> y = [mm]x-x_0[/mm] ? Dann komm ich aber auf das Integral von f(y)
> dy ... und nicht f(x)... ? Oder brauche ich das gar nicht
> weil nur der Platzhalter drin war.
Richtig... mathematisch exakter ist jedoch:
> Ich hab auch noch gegoogelt und so eine Integralregel mit
> determinante gefunden, die meintest du aber nicht, oder?
Doch, die meinte ich. Wir haben den [mm] $C^1$-Diffeomorphismus $\phi:\IR\ni x\mapsto x-x_0\in\IR$ [/mm] mit [mm]|\det D\phi(x)|=|\phi'(x)|=1[/mm] und nach dem Transformationssatz gilt [mm] $$\int_\IR f(x-x_0)^2\ dx=\int_\IR (f\circ\phi(x))^2\cdot |\det D\phi(x)|\ dx=\int_{\phi(\IR)=\IR}f(x)^2\ [/mm] dx$$ also die Behauptung.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 13.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Robert,
danke für deine Erklärung!
> und nach dem Transformationssatz gilt [mm]\int_\IR f(x-x_0)^2\ dx=\int_\IR (f\circ\phi(x))^2\cdot |\det D\phi(x)|\ dx=\int_{\phi(\IR)=\IR}f(x)^2\ dx[/mm]
Hier verstehe ich aber das letzte Gleichheitszeichen nicht. Die Det ist 1 ja, aber wo ist das [mm] \phi(x) [/mm] bei dem f geblieben?
Ich habe es bei den andren mal so weit versucht analog zu machen:
(b) [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] x, [mm] \phi'(x) [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
Dann haben wir [mm] \frac{1}{\alpha} \int |f(\alpha x)|^2 [/mm] dx = [mm] \frac{1}{\alpha} \int [/mm] |f [mm] \circ \phi(x)|^2 \alpha [/mm] dx = [mm] \int [/mm] |f [mm] \circ \phi(x)|^2 [/mm] dx
Stimmt das soweit? Nunja, der letzte Schritt fehlt mir hier halt auch noch.
(c) [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] e^{- 2\pi i x_0 x} [/mm] und
[mm] \phi'(x) [/mm] = - 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] x_0 e^{-2 \pi i x_0 x} [/mm] und der Betrag
[mm] |\phi'(x)| [/mm] = 4 [mm] \pi^2 x_0^2 e^{-4 \pi i x_0 x}.
[/mm]
Hm, aber wie geht das hier mit dem [mm] \phi? [/mm] Die e-fkt steht ja nicht in dem f drinne...?
Viele Grüße und vielen Dank für die Hilfe!
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo Robert,
> danke für deine Erklärung!
>
> > und nach dem Transformationssatz gilt [mm]\int_\IR f(x-x_0)^2\ dx=\int_\IR (f\circ\phi(x))^2\cdot |\det D\phi(x)|\ dx=\int_{\phi(\IR)=\IR}f(x)^2\ dx[/mm]
> Hier verstehe ich aber das letzte Gleichheitszeichen nicht.
> Die Det ist 1 ja, aber wo ist das [mm]\phi(x)[/mm] bei dem f
> geblieben?
Das ist der Transformationssatz. Ich glaube du hast den noch gar nicht richtig verstanden - schau auf Wikipedia. Ich hab da oben übrigens noch die Beträge vergessen, die sollte man sich dazudenken sonst wirds murx.
> Ich habe es bei den andren mal so weit versucht analog zu
> machen:
>
> (b) [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] x, [mm]\phi'(x)[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
>
> Dann haben wir [mm]\frac{1}{\alpha} \int |f(\alpha x)|^2[/mm] dx =
> [mm]\frac{1}{\alpha} \int[/mm] |f [mm]\circ \phi(x)|^2 \alpha[/mm] dx = [mm]\int[/mm]
> |f [mm]\circ \phi(x)|^2[/mm] dx
Naja fast... Du musst vor allem zeigen, dass [mm] $\phi:\IR\ni x\mapsto\alpha x\in\IR$ [/mm] ein [mm] C^1 [/mm] Diffeomorphismus ist, d.h. f ist bijektiv und f, [mm] f^{-1} [/mm] sind stetig differenzierbar. Jedenfalls muss es richtig lauten:
[mm] $$\|D_\alpha f\|_2=\int_\IR |D_\alpha f(x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|}\int_\IR |f(\alpha x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\int_\IR|f\circ\phi(x)|^2\cdot|\det D\phi(x)|\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\int_\IR|f(x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\| f\|_2$$ [/mm] Das ist jedenfalls nicht das was rauskommen soll. Vielleicht habe ich mich ja verrechnet, aber muss es vielleicht [mm]D_\alpha f(x):=|\alpha|^{1/2}f(\alpha x)[/mm] heißen?
Bei c) musst du nur die Normeigenschaften bennutzen: [mm] $$\|M_{x_0}f\|_2=\|e^{i(-2\pi x_0)}\cdot f\|_2=|e^{i(-2\pi x_0)}|\cdot\|f\|_2=\|f\|_2$$ [/mm] denn [mm] $|e^{it}|=1$ [/mm] für alle [mm] $t\in\IR$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo Robert,
danke für den Tipp mit Wiki, da findet man wirklich alles. Ich muss mir das mit dem Integralsatz erst mal noch richtig klar machen.
> Naja fast... Du musst vor allem zeigen, dass [mm]\phi:\IR\ni x\mapsto\alpha x\in\IR[/mm]
> ein [mm]C^1[/mm] Diffeomorphismus ist, d.h. f ist bijektiv und f,
> [mm]f^{-1}[/mm] sind stetig differenzierbar. Jedenfalls muss es
> richtig lauten:
> [mm]\|D_\alpha f\|_2=\int_\IR |D_\alpha f(x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|}\int_\IR |f(\alpha x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\int_\IR|f\circ\phi(x)|^2\cdot|\det D\phi(x)|\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\int_\IR|f(x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\| f\|_2[/mm]
> Das ist jedenfalls nicht das was rauskommen soll.
> Vielleicht habe ich mich ja verrechnet, aber muss es
> vielleicht [mm]D_\alpha f(x):=|\alpha|^{1/2}f(\alpha x)[/mm]
> heißen?
Nein, jedenfalls steht in der Aufgabenstellung ein Minus im Exponenten.
Wie kommst du auf das 3.Gleichheitszeichen, also dass noch ein [mm] \frac{1}{\alpha} [/mm] dazukommt? Wenn es wegen des Integralsatzes ist, dann werd ich es hoffentlich noch verstehen... Und ist |det D [mm] \phi(x)| [/mm] eigentlich nicht [mm] \alpha? [/mm] Dann würde sich doch zumindest eines wieder kürzen?
> Bei c) musst du nur die Normeigenschaften bennutzen:
> [mm]\|M_{x_0}f\|_2=\|e^{i(-2\pi x_0)}\cdot f\|_2=|e^{i(-2\pi x_0)}|\cdot\|f\|_2=\|f\|_2[/mm]
> denn [mm]$|e^{it}|=1$[/mm] für alle [mm]$t\in\IR$.[/mm]
Oh, ich glaube hier habe ich den Punkt nicht aufgeschrieben. Es muss heißen
[mm] M_{x_0}f [/mm] := [mm] e^{-2 \pi i x_0 \cdot} [/mm] f, dann ist das "e-hoch" ja keine Konstante mehr und wir können es net rausziehen, oder?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 14.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> > [mm]\|D_\alpha f\|_2=\int_\IR |D_\alpha f(x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|}\int_\IR |f(\alpha x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\int_\IR|f\circ\phi(x)|^2\cdot|\det D\phi(x)|\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\int_\IR|f(x)|^2\ dx=\frac{1}{|\alpha|^2}\| f\|_2[/mm]
> Wie kommst du auf das 3.Gleichheitszeichen, also dass noch
> ein [mm]\frac{1}{\alpha}[/mm] dazukommt? Wenn es wegen des
> Integralsatzes ist, dann werd ich es hoffentlich noch
> verstehen... Und ist |det D [mm]\phi(x)|[/mm] eigentlich nicht
> [mm]\alpha?[/mm] Dann würde sich doch zumindest eines wieder
> kürzen?
Ja Richtig. Ich habe den Integranden sozusagen mit [mm] $\frac{|\alpha|}{|\alpha|}$ [/mm] multipliziert, den Nenner rausgezogen und der Zähler ist gleich [mm] $|\det D\phi(x)|$.
[/mm]
> Oh, ich glaube hier habe ich den Punkt nicht
> aufgeschrieben. Es muss heißen
> [mm]M_{x_0}f[/mm] := [mm]e^{-2 \pi i x_0 \cdot}[/mm] f, dann ist das
> "e-hoch" ja keine Konstante mehr und wir können es net
> rausziehen, oder?
Also was meinste jetzt? [mm] $M_{x_0}f(x):=e^{-2\pi i x_0\cdot x}\cdot [/mm] f(x)$ oder wie? Schreib mal gescheite Formeln, die ich auch lesen kann...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> Also was meinste jetzt? [mm]M_{x_0}f(x):=e^{-2\pi i x_0\cdot x}\cdot f(x)[/mm]
> oder wie? Schreib mal gescheite Formeln, die ich auch lesen
> kann...
Ich meine das hier:
[mm] M_{x_0}f [/mm] := [mm] e^{-2 \pi i x_0 \cdot} [/mm] f
Der Punkt-Platzhalter ist im Exponenten.
Viele Grüße, Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mo 16.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ok, also doch [mm] $x\mapsto M_{x_0}f(x):=e^{-2\pi i x_0x}$. [/mm] Das ist doch aber trotzdem ne einfache Rechnung: [mm] $$\|M_{x_0}f\|_2^2=\int_\IR\left|e^{-2\pi ix_0x}f(x)\right|^2\ dx=\int_\IR\left|e^{-2\pi ix_0x}\right|^2\cdot\left|f(x)\right|^2\ dx=...=\|f\|_2^2$$ [/mm] Gruß, Robert
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