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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:37 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Yberion |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier die Aufgabe:
Sei A [mm] \in\IC^{n,n} [/mm] und [mm] A^{H} [/mm] := [mm] \overline{A^{T}}
[/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] AA^{H}= A^{H}A \gdw [/mm] A besitzt eine orthonormale Basis aus Eigenvektoren
Ich habe mit der Hinrichtung;) angefangen und mir gedacht, damit wir überhaupt eine Basis aus Eigenvektoren haben muß A erstmal diagonalisierbar sein. Da hab ich auch schon das erste Problem, wie kann ich aus [mm] AA^{H}=A^{H}A [/mm] folgern, dass A diagonalisierbar ist?
Falls ich das irgendwann geschafft habe muß ich noch zeigen, das die Eigenvektoren orthogonal sind (das sie normiert sind kann ich ja annehmen).
Bei der Rückrichtung sieht es ein bißchen besser aus. Da ich ja eine Basis aus Eigenvektoren habe, ist mein A ja ähnlich zu einer Diagonalmatrix. Dann hab ich einfach mal für A, [mm] BA^{'}B^{-1} [/mm] eingesetzt, wobei B die Basisübergangsmatrix und [mm] A^{'} [/mm] die Diagonalmatrix ist.Eine Möglichkeit zum vereinfachen habe ich hier aber auch noch nicht gefunden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Man beweist das -so denke ich- am besten durch vollständige Induktion nach $n$. Betrachte einen beliebigen Eigenvektor $v$ und wende die Induktionsvoraussetzung auf [mm] $W=\langle [/mm] v [mm] \rangle^{\perp}$ [/mm] an. Vergewissere dich aber vorher davon, dass tatsächlich $A:W [mm] \to [/mm] W$ gilt...
Liebe Grüße
Stefan
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