unendliche sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo Leute,
ich soll die [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] angeben, die vom folgenden Mengensystem [mm] \mathcal{A}\subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] erzeugt wird:
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR [/mm] , [mm] \mathcal{A}=\{[k,k+2]: k \in \mathbb N\} [/mm] |
Wie soll ich da am besten vorgehen?
Es sind auf jeden Fall erst mal diese Intervalle drinnen:
[1,3], [2,4], [3,5] usw.
Dann lassen sich auch Intervalle der Länge 1 als Schnitte erzeugen, z.B.
[1,3] [mm] \cap [/mm] [2,4] = [2,3]
aber auch halboffene bzw. offene Intervalle, z.B.
[1,3] [mm] \backslash [/mm] [2,4] = [1,2[ bzw. [3,5] [mm] \backslash [/mm] ([1,3] [mm] \cup [/mm] [5,7]) = ]3,5[
Und dann kommen noch die negativen Zahlen durch Komplemente hinzu.
Sehr unübersichtlich. Kann jemand weiterhelfen?
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Hallo,
negative Zahlen bekommst du sicherlich nicht rein. Das geht schon rein rechnerisch nicht und per definitionem würden sie nicht dazugehören.
Aber wenn mich nicht alles täuscht, lässt sich hier jede beliebige Teilmenge von [mm] \IN [/mm] konstruieren, also bestünde die [mm] \sigma-Algebra [/mm] gerade aus der Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] (was ja den Gepflogenheiten endlicher [mm] \sigma-Algebren [/mm] entspräche  ).
Gruß, Diophant
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Warum keine negativen Zahlen?
Wenn eine Menge in einer sigma-Algebra enthalten ist, dann auch das Komplement.
Und das Komplement von [1,3] ist [mm] \IR \backslash[1,3].
[/mm]
Hier geht es nicht nur um natürliche Zahlen, sondern um reelle Intervalle. Somit ist die Potenzmenge der natürlichen Zahlen zu wenig.
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Hallo,
> Warum keine negativen Zahlen?
>
> Wenn eine Menge in einer sigma-Algebra enthalten ist, dann
> auch das Komplement.
> Und das Komplement von [1,3] ist [mm]\IR \backslash[1,3].[/mm]
>
> Hier geht es nicht nur um natürliche Zahlen, sondern um
> reelle Intervalle. Somit ist die Potenzmenge der
> natürlichen Zahlen zu wenig.
sorry: ich hatte mich verlesen und als Grundmenge die natürlichen Zahlen angenommen.
Hm, irgendwie bekommt man dann eigentlich alles, was nicht im offenen Intervall (-1;1) enthalten ist.
Gruß, Diophant
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So ungefähr denk ich mir das auch. Ich weiß nur nicht, wie man es aufschreiben soll.
[mm] [1,3]\cup[4,6] [/mm] ist z.B. auch drinnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Do 19.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TommyAngelo,
eine Darstellungsform für [mm] $\sigma(\mathcal{A})$ [/mm] ist im Falle, dass ihr die Null zu den natürlichen Zahlen dazuzählt
[mm] $\sigma(\mathcal{A})=\{A\subseteq\IR\;|\;\forall B\in\mathcal{B}:\;B\cap A=\emptyset\mbox{ oder }B\subseteq A\}=:\mathcal{A}'$
[/mm]
mit
[mm] $\mathcal{B}:=\{(-\infty,0),[0,1),[1,2)\}\cup\{(k,k+1)\;|\;k\in\IN,k\ge2\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Danke, das sieht auf den ersten Blick sehr gut aus.
Wenn wir nun die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen dazuzählen, müsste [mm] \mathcal{B} [/mm] so ausschauen:
[mm] \{(-\infty,1),[1,2),[2,3)\}\cup\{(k,k+1)\;|\;k\in\IN,k\ge3\}
[/mm]
Stimmt's?
Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen | und : ? Ich sehe, du hast beides verwendet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Do 19.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn wir nun die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen
> dazuzählen, müsste [mm]\mathcal{B}[/mm] so ausschauen:
>
> [mm]\{(-\infty,1),[1,2),[2,3)\}\cup\{(k,k+1)\;|\;k\in\IN,k\ge3\}[/mm]
> Stimmt's?
Genau!
> Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen | und : ? Ich
> sehe, du hast beides verwendet.
| verwende ich in der Form wie in [mm] $\{k\in\IN\;|\;k\ge3\}$ [/mm] und könnte genausogut : verwenden (Geschmackssache).
: habe ich im vorigen Post verwendet in der Form [mm] $\mathcal{A}':=\ldots$ [/mm] (per Definitionem gleich) und hinter einem Quantorenausdruck der Form [mm] $\forall B\in\mathcal{B}:\ldots$. [/mm] In diesen beiden Fällen wäre | nicht sinnvoll.
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> Genau!
Aber eine Frage habe ich doch noch: Wie soll man durch Vereinigungen und Komplementbildungen (folglich auch durch Schnitte und Mengendifferenzen) auf das Intervall [1,2] kommen? Dieses Intervall ist ja auch in [mm] \mathcal{A'} [/mm] enthalten.
[1,3] [mm] \backslash [/mm] [2,4] = [1,2) ist leicht, aber wie sieht es mit [1,2] aus?
Gut, also kann man jeden vertikalen Strich durch einen Doppelpunkt ersetzen, umgekehrt natürlich nicht.
Bei der Bedeutung "mit der Eigenschaft" sehe ich schon seit Jahren mal diese und mal diese Variante.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Do 19.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wie soll man durch
> Vereinigungen und Komplementbildungen (folglich auch durch
> Schnitte und Mengendifferenzen) auf das Intervall [1,2]
> kommen? Dieses Intervall ist ja auch in [mm]\mathcal{A'}[/mm]
> enthalten.
Du bist bei der Variante, dass die natürlichen Zahlen die Null nicht enthalten, oder?
Dann liegt $[1,2]$ nicht in [mm] $\mathcal{A}'$, [/mm] denn sonst müsste wegen [mm] $[2,3)\in\mathcal{B}$ [/mm] gelten: [mm] $[1,2]\cap[2,3)=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $[2,3)\subseteq[1,2]$.
[/mm]
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Natürlich. Es muss ja für alle [mm] B\in \mathcal{B} [/mm] gelten. Ich habe erst mal nur B=[1,2) betrachtet und dann vergessen, dass A=[1,2] mit [mm] [2,3)\in\mathcal{B} [/mm] zusammenstößt :)
Danke für deine Hilfe! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Do 19.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Danke für deine Hilfe! :)
Gerne!
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So, jetzt möchte ich zeigen, dass die Gleichheit zwischen [mm] \mathcal{A'} [/mm] und [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] gilt.
Definieren wir uns erst mal [mm] B_0:=(-\infty,1), B_1:=[1,2), B_2:=[2,3), B_3:=(3,4) [/mm] usw.
Sei [mm] A=[k,k+2]\in\mathcal{A}. [/mm] Dann ist [mm] B_0\cap A=\emptyset, B_1\cap A=\emptyset,...,B_k\subseteq A,B_{k+1}\subseteq A,B_{k+2}\cap A=\emptyset,...
[/mm]
[mm] \Rightarrow A\in\mathcal{A'}\Rightarrow\mathcal{A}\subseteq\mathcal{A'}
[/mm]
Es ist:
[mm] \IR\in\mathcal{A'}, [/mm] da [mm] \forall B\in \mathcal{B} [/mm] gilt: [mm] B\subseteq\IR
[/mm]
Sei [mm] A\in\mathcal{A'} [/mm] mit [mm] B\cap A=\emptyset. [/mm] Dann gilt:
[mm] B\subseteq\IR\Rightarrow B\subseteq(\IR\backslash A)\cup A\Rightarrow B\subseteq(\IR\backslash A)\Rightarrow B\subseteq A^c\Rightarrow A^c\in\mathcal{A'}
[/mm]
Sei [mm] A\in\mathcal{A'} [/mm] mit [mm] B\subseteq [/mm] A. Dann gilt:
[mm] B\cap A=B\Rightarrow B\cap A^c=(B\cap A)\cap A^c=B\cap(A\cap A^c)=B\cap\emptyset=\emptyset\Rightarrow A^c\in\mathcal{A'}
[/mm]
Seien [mm] A_1,A_2,...\in\mathcal{A'} [/mm] und [mm] \forall n\in\IN [/mm] gelte [mm] B\cap A_n=\emptyset. [/mm] Dann gilt:
[mm] B\cap(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\emptyset\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A'}
[/mm]
Seien [mm] A_1,A_2,...\in\mathcal{A'} [/mm] und (mindestens) ein [mm] A_i\supseteq [/mm] B. Dann gilt:
[mm] B\subseteq A_i\subseteq\bigcup_{n\in\IN}A_n\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A'}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mathcal{A'} [/mm] ist eine sigma-Algebra.
[mm] \Rightarrow \sigma(\mathcal{A})\subseteq\mathcal{A'}
[/mm]
Passt das einigermaßen? Auch formal? Man kann ja das B immer festlassen, weil die [mm] B_n [/mm] (paarweise) disjunkt sind. Das macht dann nichts, oder?
Und wie schaut die andere Richtung aus? Die scheint echt schwierig zu sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> So, jetzt möchte ich zeigen, dass die Gleichheit zwischen
> [mm]\mathcal{A'}[/mm] und [mm]\sigma(\mathcal{A})[/mm] gilt.
>
> Definieren wir uns erst mal [mm]B_0:=(-\infty,1), B_1:=[1,2), B_2:=[2,3), B_3:=(3,4)[/mm]
> usw.
Das brauchst du im folgenden gar nicht, oder?
> Sei [mm]A=[k,k+2]\in\mathcal{A}.[/mm] Dann ist [mm]B_0\cap A=\emptyset, B_1\cap A=\emptyset,...,B_k\subseteq A,B_{k+1}\subseteq A,B_{k+2}\cap A=\emptyset,...[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A\in\mathcal{A'}\Rightarrow\mathcal{A}\subseteq\mathcal{A'}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es ist:
> [mm]\IR\in\mathcal{A'},[/mm] da [mm]\forall B\in \mathcal{B}[/mm] gilt:
> [mm]B\subseteq\IR[/mm]
> Sei [mm]A\in\mathcal{A'}[/mm] mit [mm]B\cap A=\emptyset.[/mm] Dann gilt:
> [mm]B\subseteq\IR\Rightarrow B\subseteq(\IR\backslash A)\cup A\Rightarrow B\subseteq(\IR\backslash A)\Rightarrow B\subseteq A^c\Rightarrow A^c\in\mathcal{A'}[/mm]
>
> Sei [mm]A\in\mathcal{A'}[/mm] mit [mm]B\subseteq[/mm] A. Dann gilt:
> [mm]B\cap A=B\Rightarrow B\cap A^c=(B\cap A)\cap A^c=B\cap(A\cap A^c)=B\cap\emptyset=\emptyset\Rightarrow A^c\in\mathcal{A'}[/mm]
Die Idee stimmt. Nur welches B betrachtest du jeweils? Im Allgemeinen wird für manche [mm] $B\in\mathcal{B}$ [/mm] gelten [mm] $B\cap A=\emptyset$ [/mm] und für andere [mm] $B\subseteq [/mm] A$. Durch kleine Änderungen kannst du dies berichtigen.
> Seien [mm]A_1,A_2,...\in\mathcal{A'}[/mm] und [mm]\forall n\in\IN[/mm] gelte
> [mm]B\cap A_n=\emptyset.[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]B\cap(\bigcup_{n\in\IN}A_n)=\emptyset\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A'}[/mm]
> Seien [mm]A_1,A_2,...\in\mathcal{A'}[/mm] und (mindestens) ein
> [mm]A_i\supseteq[/mm] B. Dann gilt:
> [mm]B\subseteq A_i\subseteq\bigcup_{n\in\IN}A_n\Rightarrow\bigcup_{n\in\IN}A_n\in\mathcal{A'}[/mm]
Gleiches Problem, gleiche Abhilfe. Aber sonst sehr schön!
> [mm]\Rightarrow \mathcal{A'}[/mm] ist eine sigma-Algebra.
> [mm]\Rightarrow \sigma(\mathcal{A})\subseteq\mathcal{A'}[/mm]
> Und wie schaut die andere Richtung aus? Die scheint echt
> schwierig zu sein.
Die ist in der Tat schwieriger.
Sei [mm] $\mathcal{C}=\mathcal{B}\cup\{\{n\}\;|\;n\in\IN, n\ge3\}$.
[/mm]
1. Zeige zunächst [mm] $\mathcal{C}\subseteq\sigma(\mathcal{A})$.
[/mm]
2. Zeige [mm] $\bigcup_{C\in\mathcal{C}}C=\IR$.
[/mm]
Für alle [mm] $A\in\mathcal{A'}$ [/mm] gilt somit [mm] $A=(\bigcup_{C\in\mathcal{C}}C)\cap A=\bigcup_{C\in\mathcal{C}}(C\cap [/mm] A)$.
Da [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] abzählbar ist, genügt es daher zu zeigen, dass [mm] $C\cap A\in\sigma(\mathcal{A})$ [/mm] für alle [mm] $C\in\mathcal{C}$ [/mm] gilt.
3. Zeige dazu [mm] $C\cap A\in\{\emptyset,C\}$.
[/mm]
Diese Aufgabe finde ich übrigens alles andere als leicht. Ich wäre mal gespannt, was da als Musterlösung gedacht war...
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> Durch kleine Änderungen kannst du dies berichtigen.
Sei [mm] A\in\mathcal{A'},B\in\mathcal{B} [/mm] mit [mm] B\cap A=\emptyset. [/mm] Für die anderen drei Fälle dann analog.
So dann?
Das andere Zeug überlege ich mir jetzt hoffentlich in Ruhe. Danke für die schnelle Antwort schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Durch kleine Änderungen kannst du dies berichtigen.
> Sei [mm]A\in\mathcal{A'},B\in\mathcal{B}[/mm] mit [mm]B\cap A=\emptyset.[/mm]
> Für die anderen drei Fälle dann analog.
Ich würde es folgendermaßen machen:
Sei [mm] $A\in\mathcal{A'},B\in\mathcal{B}$.
[/mm]
Falls [mm] $B\cap A=\emptyset$ [/mm] gilt, ...
Falls [mm] $B\subseteq [/mm] A$ gilt, ...
Also [mm] $A^c\in\mathcal{A'}$.
[/mm]
Der entscheidende Unterschied zu deiner ursprünglichen Version besteht darin, dass [mm] $A^c\in\mathcal{A'}$ [/mm] erst nach Abarbeiten beider Fälle gefolgert wird.
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> Diese Aufgabe finde ich übrigens alles andere als leicht. Ich wäre mal
> gespannt, was da als Musterlösung gedacht war...
Also als Musterlösung war ungefähr das gedacht, wenn ich das noch richtig aus dem Kopf zaubern kann:
[mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = (alle Vereinigungen von Mengen der Form [mm] (-\infty,-1), [/mm] (k,k+1), [k,k+1), (k,k+1], [k,k+1] | k [mm] \in \IN)
[/mm]
Aber na ja, ist nicht ganz richtig.
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