unendliche Reihen - ist es ric < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 So 27.11.2005 | | Autor: | roxy |
Hi! 
mit den Rechenregeln für unendliche Reihen, sollte ich einige Reihen berechnen. Teilweise hab ich das gemacht, bin aber nicht sicher, dass es auch richtig ist, u.z:
a) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \frac{1}{(k+x)(k+1+x)...(k+m+x)}
[/mm]
die Summe habe ich als [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \frac{1}{(k+x)!} [/mm] geschrieben und weiter = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \frac{1^{k+x}}{(k+x)!} [/mm] = [mm] e^{1} [/mm] = e (laut geometrische Reihe)
b) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \frac{( \wurzel{e})^{k+1}}{k!} [/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \frac{( \wurzel{e})^k \wurzel{e}}{k!} [/mm] = [mm] \wurzel{e} \summe_{k=1}^{ \infty} \frac{( \wurzel{e})^{k}}{k!} [/mm] = [mm] \wurzel{e}* e^{\wurzel{e}} [/mm] (auch geometrische Reihe)
c) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \vektor{k+m \\ m}^{-1} [/mm] (x [mm] \in \IR \setminus \IZ_{<0} [/mm] und [mm] m\in \IN, [/mm] m [mm] \ge [/mm] 2
= [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}( \frac{k!}{m!(k-m)!})^{-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \frac{m!(k-m)!}{k!} [/mm] = ? und jetzt? wie geht´s weiter??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 So 27.11.2005 | | Autor: | roxy |
a) [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \frac{1}{(k+x)(k+1+x)...(k+m+x)}[/mm]
sorry, hab die Angaben von x und m vergessen: [mm] x\in\IR\setminus\IZ_{<0}, m\in\IN m\ge2
[/mm]
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was ist denn mit den Gliedern [mm]k \ = \ 1, \ 2, \ 3, \ ... \ (k+x-1)[/mm]
hm...könnte ich, vielleicht k+x= y notieren?...dann hätte ich: [mm] \summe_{y=?}^{ \infty} \frac{1}{(y)(y+1)...(y+m)}...aber [/mm] wie geht dann meine Summe (von y = ?)?
> > b)
> Prinzipiell richtig ... aber zum einen ist das die
> Exponentialreihe (und nicht die geometrische).
das stimmt, ist eine Exponentaialreihe
> Und was ist mit dem Glied für [mm]k \ = \ 0[/mm], schließlich
> startet die Exponentialreihe dort:
>
> [mm]\exp(x) \ = \ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}[/mm]
aber k = 0 brauche ich gar nicht, da meine Summe von k =1 geht... oder?
> > c) [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \vektor{k+m \\ m}^{-1}[/mm] (x [mm]\in \IR \setminus \IZ_{<0}[/mm]
> und [mm]m\in \IN,[/mm] m [mm]\ge[/mm] 2
[mm]\vektor{k+m\\m} \ = \ \bruch{(k+m)!}{m!*(k+m-m)!} \ = \ \bruch{(k+m)!}{m!*k!}[/mm]
wie kann ich die Summe weiter schreiben...sieht nach keine bekannte Reihe aus...
Herzlichen Dank für Deine Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mo 28.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo roxy
> a) [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \frac{1}{(k+x)(k+1+x)...(k+m+x)}[/mm]
>
> sorry, hab die Angaben von x und m vergessen:
> [mm]x\in\IR\setminus\IZ_{<0}, m\in\IN m\ge2[/mm]
> > Was ist
> denn mit den Gliedern [mm]k \ = \ 1, \ 2, \ 3, \ ... \ (k+x-1)[/mm]
> hm...könnte ich, vielleicht k+x= y notieren?...dann hätte
> ich: [mm]\summe_{y=?}^{ \infty} \frac{1}{(y)(y+1)...(y+m)}...aber[/mm]
zumindest für m=2 kannst du durch Partialbruchzerlegung ne Teleskopsumme machen. für grßere M müsssst das auch gehen, vielleicht mit vollst. Induktion?
> wie geht dann meine Summe (von y = ?)?
> > > b)
> > Prinzipiell richtig ... aber zum einen ist das die
> > Exponentialreihe (und nicht die geometrische).
> das stimmt, ist eine Exponentaialreihe
> > Und was ist mit dem Glied für [mm]k \ = \ 0[/mm], schließlich
> > startet die Exponentialreihe dort:
> >
> > [mm]\exp(x) \ = \ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}[/mm]
> aber
> k = 0 brauche ich gar nicht, da meine Summe von k =1
> geht... oder?
> > > c) [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \vektor{k+m \\ m}^{-1}[/mm] (x
> [mm]\in \IR \setminus \IZ_{<0}[/mm]
> > und [mm]m\in \IN,[/mm] m [mm]\ge[/mm] 2
> [mm]\vektor{k+m\\m} \ = \ \bruch{(k+m)!}{m!*(k+m-m)!} \ = \ \bruch{(k+m)!}{m!*k!}[/mm]
auschreiben, durch k!kürzen und dann als Produkt von Brüchen [mm] schreiben,\bruch{1}{k+1}*\bruch{2}{k+2}+.......\bruch{m}{k+m}<\bruch{m!}{k^{m}} [/mm] ; [mm] >\bruch{m!}{(k+m)^{m}}
[/mm]
damit hast dus eingegrenzt.
gruss leduart
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