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| Aufgabe | a) Zeigen sie, dass die Reihe
[mm] C(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR [/mm] ansolut konvergiert.
b) Zeigen sie mittels des Cauchyprodukts von Reihen die Formel
[mm] 2(C(x))^2 [/mm] = C(2x)+1
Dazu kann ohen Beweis verwendet werden:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2n \\ 2k}=2^{2n-1}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] |
Zu a) habe ich mir überlegt, dass ich die mit dem Quotientenkriterium erledigen kann.
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=...=\bruch{x^2}{4n^2+6n+2}
[/mm]
jetzt den lim bestimmen liefert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^2}{4n^2+6n+2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] absolute Konvergenz
Stimmt das so? Dann kann ich mich an b) wagen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) Zeigen sie, dass die Reihe
>
> [mm]C(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n}[/mm]
>
> für alle x [mm]\in \IR[/mm] ansolut konvergiert.
>
>
> b) Zeigen sie mittels des Cauchyprodukts von Reihen die
> Formel
>
> [mm]2(C(x))^2[/mm] = C(2x)+1
>
> Dazu kann ohen Beweis verwendet werden:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2n \\ 2k}=2^{2n-1},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Zu a) habe ich mir überlegt, dass ich die mit dem
> Quotientenkriterium erledigen kann.
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=...=\bruch{x^2}{4n^2+6n+2}[/mm]
>
> jetzt den lim bestimmen liefert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^2}{4n^2+6n+2}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] absolute Konvergenz
>
> Stimmt das so?
Ja
FRED
Dann kann ich mich an b) wagen.
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Ich sitze gerade an b), und habe zuerst [mm] (C(x))^2 [/mm] ausgerechnet:
[mm] (C(x))^2=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*x^{2k}*\bruch{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!}*x^{2(n-k)}=...=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}*x^{2n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2(C(x))^2=2*\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}*x^{2n}
[/mm]
Dann habe ich die rechte Seite bearbeitet:
[mm] C(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*(2x)^{2n}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n}*2^{2n-1}*2
[/mm]
So jetzt kann ich noch die Formnel einsetzen:
[mm] C(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n}*2*\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n \\ 2k}
[/mm]
und jetzt hakt es, ich habe die ersten Summanden aus der Summe der Binomialkoeffizienten aufgeschrieben (dachte an Teleskopsumme) aber hat mir auch noch nicht geholfen. Jetzt frage ich mich, ob meine Umformungen oben stimmen. Über einen Hinweis würde ich mich sehr freuen.
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Hallo Big_Head78,
> Ich sitze gerade an b), und habe zuerst [mm](C(x))^2[/mm]
> ausgerechnet:
>
> [mm](C(x))^2=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*x^{2k}*\bruch{(-1)^{n-k}}{(2(n-k))!}*x^{2(n-k)}=...=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}*x^{2n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2(C(x))^2=2*\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}*x^{2n}[/mm]
>
Korrrekterweise muss das so lauten:
[mm]2(C(x))^2=2*\blue{\summe_{n=0}^{\infty}}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}*x^{2n}[/mm]
>
> Dann habe ich die rechte Seite bearbeitet:
>
> [mm]C(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*(2x)^{2n}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n}*2^{2n-1}*2[/mm]
>
> So jetzt kann ich noch die Formnel einsetzen:
>
> [mm]C(2x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}*x^{2n}*2*\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n \\ 2k}[/mm]
>
> und jetzt hakt es, ich habe die ersten Summanden aus der
> Summe der Binomialkoeffizienten aufgeschrieben (dachte an
> Teleskopsumme) aber hat mir auch noch nicht geholfen. Jetzt
> frage ich mich, ob meine Umformungen oben stimmen. Über
> einen Hinweis würde ich mich sehr freuen.
>
Schreibe jetzt den Ausdruck
[mm]\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}x^{2n}[/mm]
in [mm]2(C(x))^2[/mm] als "Faktor*Binomialkoeffizient".
Gruss
MathePower
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Dann habe ich:
[mm] 2(C(x))^2=2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}\cdot{}x^{2n}= 2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^n*\bruch{(2n)!}{(2k)!*(2n-2k)!}*x^{2n}*\bruch{1}{(2n)!}
[/mm]
[mm] =2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^n*\vektor{2n \\ 2k}*x^{2n}*\bruch{1}{(2n)!}
[/mm]
[mm] =2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*2^{2n-1}*x^{2n}*\bruch{1}{(2n)!}
[/mm]
Das sieht für mich jetzt schon gleich aus, aber jetzt frage ich mich, wo die"+1" herkommen soll.
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Hallo Big_Head78,
> Dann habe ich:
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> [mm]2(C(x))^2=2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^n}{(2k)!(2n-2k)!}\cdot{}x^{2n}= 2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^n*\bruch{(2n)!}{(2k)!*(2n-2k)!}*x^{2n}*\bruch{1}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]=2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^n*\vektor{2n \\ 2k}*x^{2n}*\bruch{1}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]=2\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*2^{2n-1}*x^{2n}*\bruch{1}{(2n)!}[/mm]
>
> Das sieht für mich jetzt schon gleich aus, aber jetzt
> frage ich mich, wo die"+1" herkommen soll.
>
Nun, die Reihe C(x) beginnt mit dem Index 1,
somit beginnt die Reihe [mm]\left( \ C\left(x\right) \ \right)^{2}[/mm] mit dem Index 2.
Damit steht dann da:
[mm]2(C(x))^2=2\cdot{}\summe_{n=\blue{2}}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^n*\vektor{2n \\ 2k}*x^{2n}*\bruch{1}{(2n)!}[/mm]
[mm]C(2x)=\summe_{n=\blue{1}}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}\cdot{}x^{2n}\cdot{}2\cdot{}\summe_{k=0}^{n}\vektor{2n \\ 2k} [/mm]
Und jetzt kannst Du die beiden Reihen miteinander vergleichen.
Gruss
MathePower
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Das mit dem Index verstehe ich jetzt leider nicht, warum beginnt [mm] (C(x))^2 [/mm] mit dem Index 2? Kannst du mir das bitte etwas genauer erklären?
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Hallo Big_Head78,
> Das mit dem Index verstehe ich jetzt leider nicht, warum
> beginnt [mm](C(x))^2[/mm] mit dem Index 2? Kannst du mir das bitte
Mit Index meinte ich den Summationsindex.
> etwas genauer erklären?
[mm]C(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{(2n)!}\cdot{}x^{2n} [/mm]
Betrachten wir die Multiplikation der Reihe C(x) mit sich selber:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}\cdot{}x^{2k} \summe_{l=1}^{\infty} \bruch{(-1)^l}{(2l)!}\cdot{}x^{2l} [/mm]
[mm]=\summe_{k=1}^{\infty} \summe_{l=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}\cdot{}\bruch{(-1)^l}{(2l)!}\cdot{}x^{2k+2l} [/mm]
Setzen wir n=k+l, so beginnt die quadrierte Reihe
mit dem Summationsindex n=2, da die Reihe C(x)
mit dem Summationsindex k=l=1 beginnt.
Daher ergibt sich
[mm]=\summe_{n=2}^{\infty} \summe_{k=1}^{n-1}\bruch{(-1)^n}{(2k)!*\left(2n-2k\right)!}x^{2n} [/mm]
Die Summationsindizes der inneren Summe ergeben sich gerade so:
1, weil [mm]k \ge 1[/mm], n-1 weil [mm]n-k \ge 1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Di 14.12.2010 | | Autor: | joolia |
Aber die Reihe C(x) beginnt mit dem Index 0, nicht 1! und dann ist meiner Meinung nach das +1 tatsächlich überflüssig, oder nicht?
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Hallo joolia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aber die Reihe C(x) beginnt mit dem Index 0, nicht 1! und
> dann ist meiner Meinung nach das +1 tatsächlich
> überflüssig, oder nicht?
Die "1" hat dann ihre Berechtigung.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Di 14.12.2010 | | Autor: | joolia |
jetzt hab ich verstanden warum: weil diese Gleichheit nur für n>0 gilt. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2n \\ 2k}=2^{2n-1}
[/mm]
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