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unendliche Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Mo 17.05.2010
Autor: Lyrn

Aufgabe
Es sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
[mm]x \mapsto \begin{cases} exp(- \bruch{1}{x}), & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}[/mm]

Zeigen Sie dass [mm]f[/mm] unendlich oft differenzierbar ist.

Kann mir bitte einer so schnell wie möglich sagen, wie ich herausbekomme, ob eine Funktion unendlich oft differenzierbar ist.
Oder besser gesagt, welche Vorraussetzungen müssen gelten, damit unendliche Differenzierbarkeit gilt?

Vielen Dank schon mal!

        
Bezug
unendliche Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Mo 17.05.2010
Autor: Teufel

Hi!

Zeig erst mal, dass f stetig ist. Das Problem hierbei sollte nur die Stelle x=0 sein. Dann kannst du mit den Ableitungen anfangen. Alle Ableitungen haben in etwas das gleiche Muster Auch hier musst du dann zeigen, dass jede Ableitung in 0 existiert (überall sonst tut sie es sowieso).

[anon] Teufel

Bezug
                
Bezug
unendliche Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Mo 17.05.2010
Autor: Lyrn

Sorry, ich steh gerade aufm Schlauch :D

Wie weise ich bei der Funktion am einfachsten Stetigkeit nach? Mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Kriterium?

Vielen Dank schonmal!

Bezug
                        
Bezug
unendliche Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Mo 17.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Sorry, ich steh gerade aufm Schlauch :D
>  
> Wie weise ich bei der Funktion am einfachsten Stetigkeit
> nach? Mit [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Kriterium?

Hmm, das geht zwar immer, wird aber beliebig schwierig.

Besser über das Folgenkriterium der Stetigkeit!

Bzw. nutze die Stetigkeit der Exponentialfunktion ...

[mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$ [/mm]

Für die Diffbarkeit in 0 solltest du dir den Differenzenquotienten ansehen und auch mal die Regel von de l'Hôpital ...

>  
> Vielen Dank schonmal!

Gruß

schachuzipus

Bezug
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