uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Fr 07.01.2011 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | Sei f auf jedem beschränkten Teilintervall von [mm] [0,+\infty) [/mm] Riemann-integrierbar und für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in [0,+\infty) [/mm] so dass
[mm] a,b\ge{N}\Rightarrow \vmat{ \int_a^bf(x)dx }\le\epsilon.
[/mm]
Man zeige, dass in diesem Fall uneigentliches Integral [mm] \int_0^{\infty}f(x)dx [/mm] existiert. |
Hallo!!
Ich bräuchte eure Hilfe bei der Aufgabe.
Ich habe mir folgendes überlegt: Ohne Einschränkung gelte b>a>N:
[mm] \vmat{ \int_a^bf(x)dx }=\vmat{ \int_N^bf(x)dx- \int_N^af(x)dx }\le\epsilon
[/mm]
Die beiden Integrale existieren , denn f ist Riemann integrietbar auf [mm] [0,\infty).
[/mm]
Somit existieren [mm] \lim_{N\to{0}}\int_N^bf(x)dx=\int_0^bf(x)dx [/mm] und [mm] \lim_{N\to{0}}\int_N^af(x)dx=\int_0^af(x)dx; [/mm] und es gilt:
[mm] \vmat{ \int_0^bf(x)dx- \int_0^af(x)dx }\le\epsilon
[/mm]
An der Stelle wieß ich nicht wirklich weiter...
Freue mich sehr auf eine Antwort!!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze
$g(t):= [mm] \int_0^{t}f(x)dx [/mm] $
Dann gilt:
das uneigentliche Integral $ [mm] \int_0^{\infty}f(x)dx [/mm] $ existiert [mm] \gdw [/mm] der Grenzwert [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}g(t) [/mm] existiert
Nun bemühe das Cauchykriterium für Funktionsgrenzwerte.
Siehe auch:
http://www.mathepedia.de/Konvergenzkriterien_Uneigentliche_Integrale.aspx
FRED
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