uneigentliches Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Es geht in meiner Frage um folgenden Satz:
Sei I = [a,b] x (c,d) ; wobei c,d [mm] \in \IR \cup \{- \infty ; \infty \}
[/mm]
f: I -> [mm] \IR [/mm] sei stetig, ebenso [mm] f_{x}.
[/mm]
Falls es eine stetige Funktion h [mm] \ge [/mm] 0 gibt, sodaß [mm] \integral_{c}^{d}{h(y) dy} [/mm] existiert und
| [mm] f_{x}(x,y)| \le [/mm] h(y) fuer alle (x,y) [mm] \in [/mm] I, dann gilt
[mm] \bruch{d}{dx} \integral_{c}^{d}{f(x,y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{c}^{d}{f_{x}(x,y) dy}
[/mm]
Größtenteils ist mir der Beweis klar, aber ich bin mir einem Detail unsicher:
Jedenfalls kommt man wegen der Differenzierbarkeit und des Mittelwertsatzes auf die Abschätzung (für h geeignet klein)
| [mm] \bruch{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} [/mm] | = [mm] |f_{x}(\mu)| \le [/mm] h(y) für [mm] \mu [/mm] passend
Daraus kann man nun die Existenz von
[mm] \integral_{c}^{d}{\bruch{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} dy} [/mm] folgern.
Der Punkt, den ich nicht 100% verstehe, ist die Argumentation, dass dann
[mm] \integral_{c}^{d}{\bruch{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} dy} [/mm] = [mm] \integral_{c}^{d}{f(x+h,y) dy} [/mm] - [mm] \integral_{c}^{d}{f(x.y) dy}
[/mm]
Wieso kann man auf die Existenz von [mm] \integral_{c}^{d}{f(x+h,y) dy} [/mm] respektive [mm] \integral_{c}^{d}{f(x.y) dy} [/mm] schließen?
Bei einem uneigentlichen Integral kann doch nicht unbedingt aus der Existenz des uneigentlichen Integrals der Summe zweier Funktionen f+g auf die Existenz d. uneig. Integrale von f respektive g geschlossen werden, oder?
Vielen Dank für alles Antworten,
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 So 05.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich glaube der Satz gilt so, wie er da steht, nicht.
> Sei I = [a,b] x (c,d) ; wobei c,d [mm]\in \IR \cup \{- \infty ; \infty \}[/mm]
>
Sei [mm]f(x,y) = 1 \forall (x,y) \in [a,b] \times \IR[/mm].
> f: I -> [mm]\IR[/mm] sei stetig, ebenso [mm]f_{x}.[/mm]
> Falls es eine stetige Funktion h [mm]\ge[/mm] 0 gibt, sodaß
> [mm]\integral_{c}^{d}{h(y) dy}[/mm] existiert und
> | [mm]f_{x}(x,y)| \le[/mm] h(y) fuer alle (x,y) [mm]\in[/mm] I, dann gilt
>
Es ist [mm]f_{x}(x,y) = 0 \forall (x,y) \in [a,b] \times \IR[/mm].
Man wähle [mm]h(y) = 0 \forall y \in \IR[/mm].
Dann sind die Bedingungen erfüllt.
> [mm]\bruch{d}{dx} \integral_{c}^{d}{f(x,y) dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{c}^{d}{f_{x}(x,y) dy}[/mm]
>
[mm]\bruch{d}{dx} \integral_{c}^{d}{f(x,y) dy} = \bruch{d}{dx} \integral_{-\infty}^{\infty} dy} = \bruch{d}{dx} \infty[/mm]. Ergibt keinen Sinn.
>
> Größtenteils ist mir der Beweis klar, aber ich bin mir
> einem Detail unsicher:
>
> Jedenfalls kommt man wegen der Differenzierbarkeit und des
> Mittelwertsatzes auf die Abschätzung (für h geeignet
> klein)
>
> | [mm]\bruch{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}[/mm] | = [mm]|f_{x}(\mu)| \le[/mm] h(y)
> für [mm]\mu[/mm] passend
>
> Daraus kann man nun die Existenz von
>
> [mm]\integral_{c}^{d}{\bruch{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} dy}[/mm]
> folgern.
>
> Der Punkt, den ich nicht 100% verstehe, ist die
> Argumentation, dass dann
>
> [mm]\integral_{c}^{d}{\bruch{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{c}^{d}{f(x+h,y) dy}[/mm] - [mm]\integral_{c}^{d}{f(x.y) dy}[/mm]
>
> Wieso kann man auf die Existenz von
> [mm]\integral_{c}^{d}{f(x+h,y) dy}[/mm] respektive
> [mm]\integral_{c}^{d}{f(x.y) dy}[/mm] schließen?
>
> Bei einem uneigentlichen Integral kann doch nicht unbedingt
> aus der Existenz des uneigentlichen Integrals der Summe
> zweier Funktionen f+g auf die Existenz d. uneig. Integrale
> von f respektive g geschlossen werden, oder?
Mit meiner Funktion von oben haste du hierfür ein Gegenbeispiel, also ich meine... deine Aussage, dass man das nicht so folgern darf, ist richtig (und du hast das h im Nenner vergessen).
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Danke für Dein Gegenbeispiel.
Ja, der Satz stimmt wohl nur, sofern man die Existenz des Integrals $ [mm] \integral_{c}^{d}{f(x.y) dy} [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] vorrausetzt.
Das war wieder mal viel fehlinvestierte Zeit in ein nicht allzu fehlerfreies Skriptum, zumindest ein sehr chaotisches.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
![[]](/images/popup.gif) Link zu einer (hoffentlich) richtigen Version des Satzes.
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