uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:36 Sa 22.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie für [mm] x\in(0,\infty) [/mm] die Konvergenz des uneigentlichen Integrals [mm] \Gamma(x):=\integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*e^{-t} dt} [/mm] und beweisen Sie [mm] \Gamma(x+1)=x*\Gamma(x) [/mm] für alle [mm] x\in(0,\infty) [/mm] und [mm] \Gamma(n+1)=n! [/mm] für [mm] n\in [/mm] N. |
Hallo,
bei dieser Aufagbe sehe ich gar kein Land.
Wer kann mir dden Anfang zeigen?
Besten Dank im Voraus.
Gruß didi_160
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Das Integral ist an der unteren Grenze uneigentlich, jedenfalls für [mm]0
[mm]\int_0^1~t^{x-1} \operatorname{e}^{-t}~\mathrm{d}x[/mm] und [mm]\int_1^{\infty}~t^{x-1} \operatorname{e}^{-t}~\mathrm{d}x[/mm]
getrennt auf Konvergenz untersuchen. Wenn sie beide konvergieren, ist ihre Summe definiert, und zwar als [mm]\Gamma(x)[/mm].
Beachte, daß du für [mm]0 < t \leq 1[/mm] den Ausdruck [mm]t^{x-1} \operatorname{e}^{-t}[/mm] nach oben durch [mm]t^{x-1}[/mm] abschätzen kannst (warum?). Und für [mm]0 \leq t < \infty[/mm] (hier ist in Wirklichkeit nur der Fall [mm]x>1[/mm] problematisch) verwende, daß sich in einer solchen Kombination im Unendlichen die Exponentialfunktion gegen eine Potenzfunktion durchsetzt. Das habt ihr sicher schon in der Vorlesung oder einer anderen Übungsaufgabe gezeigt.
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