uneigentliches Doppelintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie Folgendes uneigentliches Doppelintegral:
[mm] \integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{1}{\frac{1}{x*y}dxdy} [/mm] |
hallo forenmitglieder,
habe ein problem bei obigem doppelintegral. nach einigen versuchen hab ich als erstes dann die grenzen "umbenannt"
[mm] \integral_{u}^{u+1}{}\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{x*y}dxdy}
[/mm]
[mm] =\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(x)\Left|_{u}^{u+1}dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(u+1)-\frac{1}{y}*ln(u)dy}
[/mm]
[mm] =ln(y)*ln(u+1)-ln(y)*ln(u)\Left|_{u}^{u+1}
[/mm]
=$ ln(u+1)*ln(u)-ln(u+1)*ln(u)-ln(u)*ln(u+1)+ln(u)*ln(u) $
[mm] =(ln(u+1)-ln(u))^2
[/mm]
[mm] \limes_{u\rightarrow 0}(ln(u+1)-ln(u))^2=\infty
[/mm]
ist das vorgehen korrekt so? und wie macht man _schöne_ grenzen bei einem bereits integrierten term?
danke und gruß
tee
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> Berechnen sie Folgendes uneigentliches Doppelintegral:
> [mm]\integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{1}{\frac{1}{x*y}dxdy}[/mm]
> hallo forenmitglieder,
> habe ein problem bei obigem doppelintegral. nach einigen
> versuchen hab ich als erstes dann die grenzen "umbenannt"
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> [mm]\integral_{u}^{u+1}{}\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{x*y}dxdy}[/mm]
> [mm]=\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(x)\Left|_{u}^{u+1}dy}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{u}^{u+1}{\frac{1}{y}*ln(u+1)-\frac{1}{y}*ln(u)dy}[/mm]
> [mm]=ln(y)*ln(u+1)-ln(y)*ln(u)\Left|_{u}^{u+1}[/mm]
> =[mm] ln(u+1)*ln(u)-ln(u+1)*ln(u)-ln(u)*ln(u+1)+ln(u)*ln(u)[/mm]
>
> [mm]=(ln(u+1)-ln(u))^2[/mm]
> [mm]\limes_{u\rightarrow 0}(ln(u+1)-ln(u))^2=\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> ist das vorgehen korrekt so? und wie macht man _schöne_
> grenzen bei einem bereits integrierten term?
> danke und gruß
> tee
Hallo,
eine generelle Umbezeichnung der Grenzen ist
weder nötig noch nützlich. An den Obergrenzen x=1
bzw. y=1 ist ja der Integrand absolut regulär.
Wegen der Uneigentlichkeit an den Untergrenzen
kann man aber zunächst das Doppelintegral
$\integral_{y=v}^{1}\integral_{x=u}^{1}{\frac{1}{x*y}\ dx\,dy$
für positive u und v betrachten. Dies formt man um zu
$\integral_{y=v}^{1}\left(\frac{1}{y}*\integral_{x=u}^{1}{\frac{1}{x}\ dx\right)\,dy$
Jetzt die innere und dann die äußere Integration
und schliesslich die Grenzübergänge
für u\downarrow{0} und v\downarrow{0} durchführen.
LG Al-Chw.
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