uneigentliche integrale/reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Di 26.04.2005 | | Autor: | Mikke |
Hallo zusammen!
Und zwar habe ich folgendes problem. also man soll zeigen dass das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{ \infty} [/mm] { [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] dx} konvergent ist. So das prinzip ist klar, denn man kann ja die konvergenz der uneigentlchen integrale beinahe mit der konvergenz von reihen gleichsetzen. Also betrachte ich die die dazugehörige Reihe:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{sinx}{x}.
[/mm]
aber wie kann ich zeigen dass die se reihe konvergiert?
Wäre lieb wenn mir wer helfen könnte.
gruß mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Di 26.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Mikke!
Der Ansatz über die Reihe bringt hier meines Erachtens nicht viel. Argumentiere lieber über das Cauchy-Kriterium (d.h. zeige, dass es sich um eine Cauchy- (und damit konvergente) Folge handelt.
Für $0<a<b$ liefert eine partielle Integration
[mm] $\left\vert \int\limits_a^b \frac{\sin(x)}{x} \, dx \right\vert [/mm] = [mm] \left\vert \left[ \frac{-\cos(x)}{x} \right]_a^b-\int\limits_a^b \frac{\cos(x)}{x^2}\, dx \right\vert \le \frac{1}{a} [/mm] + [mm] \frac{1}{b} [/mm] + [mm] \int\limits_a^b \frac{1}{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{2}{a} \to [/mm] 0$ ($a [mm] \to \infty$).
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Di 26.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julius!
Aber ist in der Aufgabenstellung nicht $a \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] ?
Also müßte nicht eine Grenzwertbetrachtung $a \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \red{0}$ [/mm] vorgenommen werden?
Für den Grenzwert [mm] $\rightarrow [/mm] \ [mm] \red{\infty}$ [/mm] müßte doch die obere Grenze [mm] $\text{b}$ [/mm] betrachtet werden?
Ober habe ich gerade einen Total-Blackout? Dann bitte diesen Artikel gekonnt ignorieren!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Loddar!
> Aber ist in der Aufgabenstellung nicht [mm]a \ = \ \red{0}[/mm] ?
Hmmh... darum geht es nicht. Die Existenz des Integrals
[mm] $\int\limits_0^c \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx$
ist sowieso klar, da $x [mm] \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] in $0$ durch den Funktionswert $1$ stetig fortsetzbar ist, und eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall immer integrierbar ist.
Um was wir uns also kümmern müssen, ist die Existenz des Integrals
[mm] $\int\limits_c^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx$
für ein beliebiges $c>0$.
Wir müssen also für eine beliebige Folge [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=+\infty$ [/mm] zeigen, dass der Grenzwert
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_c^{x_n} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx$
existiert. Dazu genügt es aber zu zeigen, dass
[mm] $\left( \int\limits_c^{x_n} \frac{\sin(x)}{x}\, dx \right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist, sprich:
Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $n_0(\varepsilon) \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] m [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt:
(*) [mm] $\int\limits_{x_m}^{x_n} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Ich aber habe gezeigt, dass für $0 [mm] \le a\le [/mm] b < [mm] \infty$ [/mm] gilt:
[mm] $\lim\limits_{a \to \infty} \int\limits_{a}^{b} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx=0$.
Daraus folgt (*).
Liebe Grüße
Julius
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