uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) I = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{\bruch{u}{u^{2}+4} du}
[/mm]
b) I = [mm] \integral_{1}^{+\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{u}-1)(u+1)} du} [/mm] |
So nun habe ich mich heute mit ganz vielen uneigentlichen Integralen beschäftigt.. Integrale die existieren machen mir keine sehr großen Schwierigkeiten, vom Gerüst her sind sie den bestimmten und unbestimmten ja sehr ähnlich, außer das am Ende der Grenzwert mit ins Spiel gebracht wird. Bei Integralen die nicht existieren sieht es ein bisschen anders aus, ich denke ich erkenne sie wohl, jedoch mangelt es mir da an der genauen Begründung bzw am Verständnis für die Begründung.
zu a) I = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{\bruch{u}{u^{2}+4} du}
[/mm]
I = [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{\bruch{u}{u^{2}+4} du} [/mm] = 0, weil f(u)= [mm] \bruch{u}{u^{2}+4} [/mm] ungerade:
f(-u) = -f(u) mit f(u) = [mm] \bruch{u}{u^{2}+4}
[/mm]
f(-u) = [mm] \bruch{-u}{(-u)^{2}+4} [/mm] = [mm] \bruch{-u}{u^{2}+4} [/mm] = -f(u)
Hier habe ich mit der Symmetrie begründet.
zu b) I = [mm] \integral_{1}^{+\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{u}-1)(u+1)} du}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{+\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{u}-1)(u+1)} \bruch{\wurzel{u}+1}{\wurzel{u}+1} du}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{+\infty}{\bruch{\wurzel{u}+1}{(u-1)(u+1)} du}
[/mm]
Integral existiert nicht, da bei u=1 der Integrand eine Polstelle besitzt!
So hier muss ich zugeben, habe ich von einem Beispiel aus einem meiner Mathebücher ein wenig abgekupfert.... Mit dem Papula konnte ich mir die Definition der Polstelle nicht wirklich erklären. Auf Wikipedia steht auch ein bisschen dazu... jedoch werde ich auch daraus nicht wirklich schlau, vielleicht kann mir von euch jemand erklären, was es damit genau auf sich hat und woran man diese Polstelle genau erkennt?
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Ah, und verhindern Polstellen Integrale?
Stell Dir vor, es wäre sauber notiert, mit Grenzwert und allem, wie groß wäre dann die gesuchte Fläche? Ist sie bestimmbar?
Lass Dir die Funktion mal plotten, dann wird vieles klarer.
lg,
reverend
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Okay, wenn ich mir die Funktion plotten lasse, dann sehe ich eine Asymptote bei x=1 in positiver y-Richtung, und eine Asymptote in postiver x-Richtung. Da dies meine Grenzen sind, kann ich es also integrieren.. wären die Grenzen nun von 0 [mm] \to \infty [/mm] dann könnte/bräuchte ich es nicht lösen?
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Ganz so einfach ist es nicht, aber immerhin "sieht" man, dass es den Versuch wert ist. Teile die Fläche unter der Funktion mal durch y=x oder eine andere Gerade wie x=2 oder y=2. Es ist nicht selbstverständlich, dass die beiden entstehenden Teilflächen jeweils endlich sind. Das musst Du erst nachweisen.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matzew611 |
okay, danke, ich werde mich morgen früh damit weiter befassen, ich merke gerade dass mein kopf nicht mehr sehr viel aufnimmt, brauche erst ein paar stündchen schlaf :-P
lg
macht in letzter zeit aber richtig spaß sich dahinterzuklemmen, wenn ich bedenke, was ich in den letzten WOCHEN alles gelernt habe und das mit 13 JAHREN schule vergleiche bzw mit meinem Mathe GK in der Oberstufe vergleiche, dann war das in der Schule ein absoluter witz..
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und den nachweis bringe ich dementsprechen wieder nur, wenn ich alles kleinschrittig ausrechne? Ich habe eben in den Uni-Unterlagen (aus dem letzten Jahr von einem Kumpel, der ist ein Jahr weiter als ich, hat also letztes Jahr das gemacht, was ich nun mache) noch folgendes Beispiel gefunden, welches er von unserem Matheprof mitgeschrieben hatte:
das ist auch völlig analog dazu:
"
[mm] \integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{x}-2)(x+1)} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{x}-2)(x+1)}\bruch{\wurzel{x}+2}{\wurzel{x}+2} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{4}^{\infty}{\bruch{\wurzel{x}+2}{(x-2)(x+1)} dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow: [/mm] Integral ex. nicht, da bei x=4 der Integrand eine Polstelle besitzt"
Kann ich dem Prof nun vielleicht einen Fehler vorwerfen :-P.. oder begnügt er sich evtl einfach damit? Würde aber doch schon gerne, alles 100%ig korrekt machen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Fr 16.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Matthias,
kannst du mir erklären, warum bei x=4 ein Pol sein soll ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich denke da schon die ganze Zeit drauf rum.
Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Fr 16.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Matthias,
ok, denn ich sehe nur zwei Pole, die gar nichts mit dem Integral zu tun haben.
Dann warte ich mit auf die Erleuchtung ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Grüße
Smarty
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> Hallo Matthias,
>
> kannst du mir erklären, warum bei x=4 ein Pol sein soll
>
> Ich denke da schon die ganze Zeit drauf rum.
>
> Grüße
> Smarty
hallo Smarty,
2*2=4
klickt's ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Fr 16.01.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Al,
ja natürlich, das hatte ich schon gesehen. Jedoch nach der Erweiterung ist [mm] \wurzel{x} [/mm] doch gar nicht mehr aktuell, oder doch? Wenn ja, wie?
Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Fr 16.01.2009 | | Autor: | reverend |
Nee, Al,
ich hab jetzt zwar mal nicht nachgerechnet, ob 2*2=4 ist, aber auch nur, weil das mit diesem Integranden nichts zu tun haben kann...
Wolfram Integrator gibt übrigens das intuitiv nicht mehr zu erschließende unbestimmte Integral:
[mm] \integral{\bruch{\wurzel{x}+2}{(x-2)(x+1)}}=\bruch{2}{3}*\left(\arctan{(\wurzel{x})}-\wurzel{2}\ artanh\left(\bruch{\wurzel{2x}}{2}\right)+\ln{(x-2)}-\ln{(1+x)}\right)
[/mm]
- und das hat kein Problem bei x=4, wohl aber, wie zu vermuten, bei x=2. Auch da lässt sich doch aber ein Grenzwert bilden, meine ich. Für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] ist das Integral jedenfalls konvergent!
Grüße,
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Fr 16.01.2009 | | Autor: | reverend |
Oh, ich lese gerade Angelas Antwort.
Ihr habt Recht. 2*2 ist doch 4.
Hach, immer diese komplizierten Rechnungen...
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> "
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{x}-2)(x+1)} dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{x}-2)(x+1)}\bruch{\wurzel{x}+2}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{\wurzel{x}+2}{(x-\red{4})(x+1)} dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow:[/mm] Integral ex. nicht, da bei x=4 der Integrand
> eine Polstelle besitzt"
Hallo,
es ist doch [mm] (\wurzel{x}-2)*((\wurzel{x}+-2)=x-4, [/mm] und nicht x-2.
Damit gibt's dann auch die Polstelle.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Fr 16.01.2009 | | Autor: | smarty |
Liebe Angela,
vielleich kannst du mir ja auch hier schnell helfen.
WO BITTE GIBT ES DIE ANMELDEBÖGEN FÜR DIE GRUNDSCHULE ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Sowas, also nein! Wie peinlich!!!
Grüße
Smarty
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> WO BITTE GIBT ES DIE ANMELDEBÖGEN FÜR DIE GRUNDSCHULE
>
Hallo,
die bekommt man automatisch zugeschickt, wenn's soweit ist.
Die dritte binomische Formel kommt aber erst in Kl. 8 dran.
Aber ich denke, wenn jeder, der mal so'nen Fehler gemacht hat, zurückgehen würde in die Schule, wären die Klassen prall gefüllt mit mathematiktreibenden Herrschaften jeglichen Alters.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matzew611 |
ja das ist schon mal wirklich einleuchtend :) hehe was ich dummer fehler, aber nun gut..
reicht es denn nun als begründung für die aufgabe aus? wir gesagt, der prof hatte es lediglich so begründet.. nur ohne großartig irgendeine erklärung dazu zu machen, es sei so und fertig, deshalb sind da halt die verständnisschwierigkeiten bei mir, und ich neige dazu, etwas nur zu machen wenn ich kapiere warum :D
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> und den nachweis bringe ich dementsprechen wieder nur, wenn
> ich alles kleinschrittig ausrechne? Ich habe eben in den
> Uni-Unterlagen (aus dem letzten Jahr von einem Kumpel, der
> ist ein Jahr weiter als ich, hat also letztes Jahr das
> gemacht, was ich nun mache) noch folgendes Beispiel
> gefunden, welches er von unserem Matheprof mitgeschrieben
> hatte:
>
> das ist auch völlig analog dazu:
>
> "
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{x}-2)(x+1)} dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{1}{(\wurzel{x}-2)(x+1)}\bruch{\wurzel{x}+2}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{4}^{\infty}{\bruch{\wurzel{x}+2}{(x-\red{4})(x+1)} dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow:[/mm] Integral ex. nicht, da bei x=4 der Integrand
> eine Polstelle besitzt"
>
> Kann ich dem Prof nun vielleicht einen Fehler vorwerfen
Hallo,
ich glaube ja: allein aus der Tatsache, daß dort eine Polstelle ist, kann man doch nicht schließen, daß das Integral nicht konvergiert.
Auch ich habe jetzt mal meinen netten Freund Wolfram befragt, der immer alles so gut integrieren kann, und der sagt:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}+2}{(x-4)(x+1)} dx} =\bruch{2}{5}\arctan(\wurzel{x}) [/mm] + [mm] \bruch{4}{5}\red{\ln(\wurzel{x}-2)} -\bruch{2}{5}\ln(1+x),
[/mm]
und an der roten Stelle bekommt man ein Problem mit x=4, und deshalb konvergiert das nicht.
Gruß v. Angela
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ich habe es jetzt mal gerechnet:
ich kürze es mal ein wenig ab, ich bin nicht so fit mit vielen zeichen hier :)
zunächst habe ich substituiert: [mm] \wurzel{u}=x, [/mm] u = [mm] x^{2}, [/mm] du = 2xdx
daraus ergibt sich dann:
[mm] 2\integral \bruch{x}{(x-1)(x^{2}+1)} [/mm] dx
dann habe ich die Patrialbruchzerlegung angewendet mit x [mm] =A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1)
[/mm]
eingesetzt habe ich die Werte x=1, x=0, x=2 und bekommen demnach folgendes heraus:
[mm] A=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] B=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] C=\bruch{1}{2}
[/mm]
dann habe ich das Integral:
I(1) = 2 [mm] \bruch{1}{2} \integral (\bruch{1}{x-1}-\bruch{x-1}{x^{2}+1}) [/mm] dx
daraus folgt bei mir:
I(1) = [mm] \integral \bruch{1}{x-1}dx [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral \bruch{2x}{x^{2}+1}dx [/mm] - [mm] \integral \bruch{1}{x^{2}+1}dx
[/mm]
= ln|x-1| - [mm] \bruch{1}{2}ln|x^{2}+1| [/mm] - arctan(x) + C
nach der Rücksubstitution: x = [mm] \wurzel{u}, x^{2}=u
[/mm]
I(1) = [mm] ln|\wurzel{u}-1| [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}ln|u+1| [/mm] - [mm] arctan(\wurzel{u}) [/mm] + C
I = ln| [mm] \wurzel{u}-1| [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}ln|u+1| [/mm] - [mm] arctan(\wurzel{u}) [/mm] + C (obere Grenze: b, untere Grenze: 1)
darauf folgt:
I (b)= [mm] ln|\wurzel{b}-1| [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}ln|b+1| [/mm] - [mm] arctan(\wurzel{b}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}ln|2| [/mm] + arctan (1)
Grenzübergang [mm] b\Rightarrow\infty
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}ln(2) [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
okay... bestimmt falsch, mal sehen, ... hmm... :D ... da kommt übrigens ein negativer wert raus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matzew611 |
Genial! Danke, da bleibt nun keine Frage mehr bei mir offen ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
lg Matthias
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a) stimmt nicht. Man kann zunächst leicht eine Stammfunktion angeben:
[mm]F(u) = \frac{1}{2} \ln \left( u^2 + 4 \right) \, , \ \ F'(u) = f(u) = \frac{u}{u^2 + 4}[/mm]
Jetzt gilt zwar für jedes [mm]a>0[/mm] durchaus
[mm]\int_{-a}^a f(u)~\mathrm{d}u = 0[/mm]
woraus sich auch
[mm]\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a f(u)~\mathrm{d}u = 0[/mm]
ergibt. Dazu braucht man auch nur die Ungeradheit von [mm]f[/mm], was du richtig erkannt hast. Nur - so ist die Konvergenz des uneigentlichen Integrals nicht definiert! Diese erfordert die Entkoppelung der Grenzübergänge für die untere und obere Integrationsgrenze. Es müßten also mit [mm]a,b>0[/mm] die Integrale
[mm]\int_{-a}^0 f(u)~\mathrm{d}u \, , \ \ \int_0^b f(u)~\mathrm{d}u[/mm]
für [mm]a \to \infty[/mm] bzw. [mm]b \to \infty[/mm] konvergieren. Und wäre das der Fall, dann wäre die Summe der Grenzwerte auch der Wert des uneigentlichen Integrals von [mm]- \infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm]. Aber diese Grenzwerte existieren nicht, wie du leicht mit Hilfe der Stammfunktion feststellen kannst.
Das Integral divergiert daher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Do 15.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Leopold,
diese Argumentation leuchtet mir überhaupt nicht ein. Wieso sollte die Punktsymmetrie hier nicht reichen?
Dass das Integral divergiert, wenn ich nur [mm] (-\infty,0) [/mm] und [mm] (0,\infty) [/mm] betrachte, sei dahingestellt. Wegen der Punktsymmetrie kann man aber doch trotzdem den Wert feststellen. Wenn nicht, bitte ich um Erklärung.
Danke im voraus,
reverend
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Okay, ich möchte das für mich nochmal zusammenfassen, ob ich es richtig verstehe..
Mit der Symmetrie darf ich bei uneigentlichen Integralen nicht argumentieren, da die Konvergenz des uneigentlichen Integrals so nicht definiert ist?
Das bedeutet, ich muss das Integral, zunächst ganz normal unbestimmt integrieren, dann setze ich für die Grenzen zunächst folgendes ein: [mm] \integral_{0}^{b} [/mm] und anschließend noch: [mm] \integral_{a}^{0}...
[/mm]
Danach berechne ich die Grenzwerte meiner nun zwei Integrale, wobei ich feststellen werde, dass die Grenzwerte nicht existieren?
Bedeutet also ich darf nur argumentieren, wenn ich das Integral samt Grenzwert auch wirklich berechnet habe? Man kann also nicht allgemein sagen, wenn das uneigentlich Integral ungerade ist, existiert es nicht,.. also ist es möglich, dass ich Integrale vorfinde, die ungerade sind, jedoch trotzdem existieren?
Ich bin noch total verwirrt :), vll weil es schon so spät ist .)..
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Nein, diese Einschränkung ist Quatsch.
edit: Irrtum. Meine Reaktion war Quatsch. Leopold hat Recht, erst ist die Konvergenz zu zeigen. Entschuldigung für die Verwirrung!
Deine Betrachtung zur Punktsymmetrie war vollkommen richtig.
lg,
reverend
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[mm]\lim_{a \to \infty} \int \limits_{-a}^a \frac{u}{u^2 + 1}~\mathrm{d}u = 0 \, , \ \ \ \lim_{a \to \infty} \int \limits_{-2a}^a \frac{u}{u^2 + 1}~\mathrm{d}u = -\ln 2 \, , \ \ \ \lim_{a \to \infty} \int \limits_{-a}^{a^2} \frac{u}{u^2 + 1}~\mathrm{d}u = \infty[/mm]
Bei einem konvergenten Integral dürfte so etwas nicht passieren.
Auch wenn du es nicht glaubst, dieses Integral konvergiert nicht. Man darf, wenn ein Integral an beiden Grenzen uneigentlich ist, die Grenzübergänge nicht von vornherein koppeln. Hat sich ein Integral allerdings einmal als konvergent herausgestellt, dann ist auch bei Koppelung der Grenzübergänge der Wert immer derselbe.
Würdest du denn auch
[mm]\int_{- \infty}^{\infty} u^3~\mathrm{d}u = 0[/mm]
als richtig erachten? Darauf träfe ja die Geschichte mit der Ungeradheit auch zu.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 08:57 Fr 16.01.2009 | | Autor: | reverend |
$ [mm] \int_{- \infty}^{\infty} u^3~\mathrm{d}u [/mm] = 0 $
Das ist allerdings ein schlagendes Beispiel. Ich steckte noch in einer anderen Logik. Danke fürs Wecken, äh, die Korrektur!
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Okay, ich schreibe nun nochmal auf wie ich die Aufgabe formell nun lösen würde:
I = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{u}{u^{2}+4} du}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] I(a) = [mm] \integral_{-a}^{0}{f(u) du}, [/mm] I(b) = [mm] \integral_{0}^{b}{f(u) du}
[/mm]
I(1) = [mm] \integral \bruch{u}{u^{2}+4} [/mm] du = [mm] \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4)
[/mm]
[F(u) = [mm] \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4), F'(u)=f(u)=\bruch{u}{u^{2}+4}]
[/mm]
I(a) = [mm] \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4) [/mm] (obere Grenze: 0, untere Grenze: -a) = [mm] \bruch{1}{2}ln(4)-\bruch{1}{2}ln((-a)^{2}+4)
[/mm]
I(b) = [mm] \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4) [/mm] (obere Grenze: b, untere Grenze: 0) = [mm] \bruch{1}{2}ln(b^{2}+4)-\bruch{1}{2}ln(4)
[/mm]
Grenzübergang [mm] a\to\infty:
[/mm]
[mm] \limes_{-a\rightarrow\infty} [/mm] I(a) = [mm] \limes_{-a\rightarrow\infty} (\bruch{1}{2}ln(4)-\bruch{1}{2}ln((-a)^{2}+4)) [/mm] (verläuft gegen [mm] -\infty)
[/mm]
Grenzübergang [mm] b\to\infty:
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] I(b) = [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} (\bruch{1}{2}ln(b^{2}+4)-\bruch{1}{2}ln(4)) [/mm] (verläuft gegen [mm] +\infty)
[/mm]
Daraus folgt, dass die Grenzwerte nicht existieren und das Integral divergiert!
Formell so alles in Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Fr 16.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Fr 16.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zur Klärung:
1. [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] heißt konvergent : [mm] \gdw [/mm] es ex. ein a [mm] \in \IR [/mm] mit: die Integrale
[mm] \integral_{-\infty}^{a}{f(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
sind beide konvergent. Diese Def. ist unabh. von der Wahl von a !!!
2. Existiert der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty}\integral_{-t}^{t}{f(x) dx}, [/mm]
so sagt man, der Cauchysche Hauptwert des Integrals [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] existiert und man schreibt:
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty}\integral_{-t}^{t}{f(x) dx} [/mm] = CH - [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
Zur Abgrenzung:
Ist [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] konvergent, so ex. auch CH - [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] und es gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = CH - [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}.
[/mm]
Das umgekehrte muß nicht gelten:
CH - [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x dx} [/mm] = 0, aber [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x dx} [/mm] ist divergent.
FRED
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
... mich macht das auch alles kirre :)... versuche mir auch die ganze Zeit irgendeine Erklärung zu liefern :) warum wieso weshalb ... :) vll wurde die Zahl "4" auch falsch abgeschrieben.. alles ist möglich :) ich warte auf Erleuchtung ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
