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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Thema uneigentliche Integrale und habe ein kleines Problem mit dem Verständnis.
Wir haben gelernt, dass es einmal den unbeschränkten Integrationsbereich gibt, also dass mindestens eine Integrationsgrenze unendlich ist.
Ich habe mir das so gemerkt, dass ich also die "bekannte" Integrationsgrenze a bzw b vorgeschrieben bekommen, also zB 1, und ich die unbekannte, die gegen + oder - unendlich gehende Integrationsgrenze durch die Variable a bzw b ersetze.
zB bei [mm] \integral_{1}^{b}{\bruch {1}{x^2} dx}= [/mm] 1-1/b, also gilt [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} [/mm] 1/b =0 und das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch {1}{x^2} dx} [/mm] konvergiert mit b gegen [mm] \infty [/mm] =1
Aber dann haben wir nochdas Thema "unbeschränkter Integrand" gehabt, also dass der Integrand an einer Integrationsgrenze nicht definiert ist, wo ich ein Problem habe, da ich hier nicht wirklich den wesentlichen Unterschied sehe bzw auch kein Vorgehensschema wie bei meinem ersten Beispiel (falls meine Vorgehensweise so richtig ist).
Hier gehe ich ja hin uns sage [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0} [/mm] und das ist ja im Grunde der wesentliche Unterschied. Hier gucke ich für die Variable [mm] \varepsilon [/mm] wie das Integral sich gegen 0 verhält, beim ersten gucke ich, wie es sich gegen unendlich verhält.
Aber unsere Beispiele haben sich für das erste auf Integrale von [mm] \integral_{1}^{b}{f(x) dx} [/mm] für b>1 und beim zweiten auf Integrale von [mm] \integral_{\varepsilon}^{1}{f(x) dx} [/mm] für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beschränkt, sodass ich hier erstmal gar kein Rechenschema sehe.
Denn ganz am Ende haben wir dann Folgendes noch gemacht:
Wir zeigen, dass das uneigentlich Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{1/x^2 dx} [/mm] divergent ist
Sei c=1 und [mm] \varepsilon [/mm] > 0, dann gilt: [mm] \integral_{\varepsilon}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] 1/\varepsilon [/mm] -1 für [mm] \varepsilon [/mm] -> 0 = [mm] \infty
[/mm]
daher ist [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] divergent und damit auch [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
Ich vermute, dass hier beide "Regeln" zusammengezogen worden sind, aber woher werden hier immer die Einsen für die Integrationsgrenzen genommen? Sind die fest oder sind das einfach von Aufgabenstellung zu Aufgabenstellung verschiedene Zahlen?
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Beispiel:
Weisen Sie die Konvergenz des folgenden uneigentlichen Integrals nach und bestimmen Sie den Wert:
[mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] e ^ [mm] (-\wurzel [/mm] x) : 2 [mm] \wurzel [/mm] x dx [tut mir leid, für die doofe Schreibweise, aber alles andere wollte der Editor nicht annehmen..]
Was muss ich nun hier machen und wie verhält sich das zu den "2 Regeln"?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 08.01.2009 | | Autor: | Dath |
Wenn du [mm]\integral_{1}^{\infty}{\wurzel{1}x^{2} dx}[/mm] hast, versteh ich nicht ganz, wdlche Stammfunktion du benutzen willst.
Ein Beispiel für einen uneigentlichen Integral ist z.B.:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}=\wurzel{\pi}[/mm], oder, wie du vllt. aus der Stochastik kennst: Die Gauß'sche Integralfunktion.
Im Übrigen empfehle ich dir:
![[]](/images/popup.gif) Da!
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Tut mir leid, ich habe erst jetzt gesehen, dass ich mich verschrieben habe. Ich meine natürlich nicht [mm] \wurzel [/mm] {1} sondern [mm] 1/x^2. [/mm] Ich habe es oben bereits geändert.
Aber irgendwie verstehe ich immernoch nicht, was ich tun muss. Könnten wir vielleicht das Beispiel durchgehen anhand der beschriebenen Regeln?
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Hallo!
Ich vermute das Integral lautet
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2*\wurzel{x}} dx }$
[/mm]
?
Das Unendlich müssen wir natürlich erstmal durch a ersetzen; bei der 0 warten wir noch.
Naja, als erstes kannst du immer erstmal die Stammfunktion berechnen:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2*\wurzel{x}} dx } [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left(\integral_{0}^{a}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2*\wurzel{x}} dx }\right) [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left(\left[-e^{-\sqrt{x}}\right]_{0}^{a}\right) [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left(-e^{-\sqrt{a}}+1\right)$
[/mm]
Und nun musst du eben den Limes auswerten...
Wie du schon richtig erkannt hast, gibt es zwei "verschiedene" uneigentliche Integrale:
- Einmal ist die Grenze unendlich
- Einmal passiert bei einer konstanten Grenze wie 2 mit der Funktion etwas ungünstiges, z.B. ist sie dort nicht definiert.
In beiden Fällen ersetzt man einfach die kritischen Grenzen durch Variablen und schreibt vor das Integral die entsprechenden Limites. Dann rechnet man das Integral praktisch erst allgemein aus und versucht dann den Grenzwert auszuwerten.
Grüße,
Stefan.
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Geht das Integral für den Limes gegen unendlich also gegen 0?
Kannst du noch kurz zeigen, wie du auf das Integral gekommen bist, bitte?
Lieben Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Die Stammfunktion zu der Funktion [mm] $\bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2*\wurzel{x}}$ [/mm] erhältst Du durch die Substitution $u \ := \ [mm] -\wurzel{x}$ [/mm] .
Das Ergebnis für das (doppelt-)uneigentliche Integral stimmt nicht.
Gruß
Loddar
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Wenn ich doch -e im Exponenten immer weiter gegen -unendlich laufen lasse, bekomme ich dann nicht etwas immer kleineres? Oder etwa sogar -unendlich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Nein, der Ausdruck [mm] $e^{-z}$ [/mm] geht für [mm] $z\rightarrow\infty$ [/mm] gegen Null. Sieh Dir dazu mal den Funktionsgraphen der e-Funktion an: was passiert dort für sehr kleine x-Werte.
Zudem hat sich in steppenhanh's Antwort leider ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Es muss heißen:
$$... \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left[ \ -e^{-\wurzel{a}} -(-1) \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\left[ \ -e^{-\wurzel{a}} \ \red{+} \ 1 \ \right] [/mm] \ = \ 0+1 \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Hallo!
Du hast Recht Loddar, ich habs korrigiert  Danke!
Grüße,
Stefan.
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Mein Übungsleiter meinte, ich könne das so nicht lösen, da ich 0 gar nicht in die Funktion einsetzen darf. Aber das Ergebnis, wie wir das dann gelöst haben war das gleiche. Stimmt es, dass ich das so also nicht lösen darf? Wir haben das Integral nochmal aufgeteilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Formal hat dein Übungsleiter recht, du kannst eine fkt an ner Stelle, wo sie nicht definiert ist nicht einfach integrieren. also musst du das [mm] \epslon [/mm] als unter Grenze einsetzen und dann den GW [mm] \epsilon [/mm] gegen 0 machen. Da das hier mehr als klar ist, da man in die Integralfkt 0 einsetzen kann ist das was pingelig, aber richtig.
die feste Grenze bei nem uneigentlichen Integral ist für die Konvergenz unwichtig, wenn sie im Bereich liegt, wo die fkt stetig ist. wenn das Integral von 1 bis [mm] \infty [/mm] nicht existiert,( oder endlich ist) dann auch nicht das von 127 bis [mm] \infty. [/mm] 1 ist da nur bequem . Und natürlich falls das Integral existiert hängt der Wert von der unteren Grenze ab.
Gruss leduart.
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Hallo,
also das verstehe ich immernoch nicht ganz, wieso man aus dem uneigentlichen Integral 2 Integrale gebildet hat, von 0 bis 1 und von 1 bis unendlich.
Dann hat man sogar gesagt, dass die Funktion in x=0 eine Polstelle hat, wieso?
Und dann hat man den Limes [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0+ laufen lassen (hier hat man die 0 dann gegen [mm] \varepsilon [/mm] ausgetauscht) und bei dem zweiten Integral von 1 bis unendlich hat man unendlich gegen b ausgetauscht. Und als man die beiden Ergebnisse addiert hat, kam man auf 1.
Ich glaube, ich sollte diese Methode mit [mm] \varepsilon [/mm] und dem Austausch gegen b beherrschen, aber ich versteh nicht den Rechenweg.
Kann jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also das verstehe ich immernoch nicht ganz, wieso man aus
> dem uneigentlichen Integral 2 Integrale gebildet hat, von 0
> bis 1 und von 1 bis unendlich.
Das Problem bei diesem Integral ist doch, dass es sozusagen zwei Unendlichkeiten hat: an der oberen Grenze, weil sie [mm] $\infty$ [/mm] ist, und an der unteren, weil dort der Integrand nicht definiert ist. Das heisst, das Integral ist, wenn man es ausschreibt, durch einen doppelten Grenzwert definiert:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2\cdot{}\wurzel{x}} dx } = \lim_{\varepsilon\to 0} \lim_{b\to\infty} \integral_{\varepsilon}^{b}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2\cdot{}\wurzel{x}} dx } [/mm]
Dabei müssen beide Grenzwerte voneinander unabhängig sein, das Ergebnis muss definiert und gleich sein, egal ob du erst [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0$ und dann [mm] $b\to\infty$ [/mm] gehen lässt oder umgekehrt.
Um diese Unabhängigkeit gut in den Griff zu bekommen, bietet es sich an, das Integral so zu zerlegen, dass du die beiden Grenzwerte getrennt behandeln kannst, also
[mm]\integral_{\varepsilon}^{b}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2\cdot{}\wurzel{x}} dx } = \integral_{\varepsilon}^{1}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2\cdot{}\wurzel{x}} dx } + \integral_{1}^{b}{ \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2\cdot{}\wurzel{x}} dx }[/mm]
Jetzt kannst du in aller Ruhe den Grenzwert [mm] $\varepsilon\to [/mm] 0$ beim ersten und den Grenzwert [mm] $b\to\infty$ [/mm] beim zweiten Integral berechnen, ohne dass sie gegenseitig in die Quere kommen. Dass man bei 1 auftrennt, ist völlig willkürlich: du könntest auch 2, 1/2, [mm] $\pi$ [/mm] oder [mm] $\pi^2+35$ [/mm] nehmen. (Es gibt durchaus Fälle, wo 1 einfacher zu rechnen ist als [mm] $\pi^2+35$, [/mm] aber am Ergebnis ändert das gar nichts.)
> Dann hat man sogar gesagt, dass die Funktion in x=0 eine
> Polstelle hat, wieso?
Strenggenommen ist das keine Polstelle, sondern eine Unendlichkeitsstelle. Zunächst einmal ist der Integrand dort nicht definiert. Wenn du dir die Funktion
[mm] \bruch{e^{-\wurzel{x}}}{2\cdot{}\wurzel{x}} [/mm]
in der Nähe von 0 aufmalst, dann siehst du, was passiert: die Funktion geht gegen [mm] $\infty$, [/mm] wenn du von rechts gegen 0 marschierst. Trotzdem zeigt die Berechnung des Grenzwerts [mm] $\varepsilon\to0$, [/mm] dass die Fläche unter der Kurve endlich ist.
Viele Grüße
Rainer
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Herzlichen Dank!
Kannst du mir nun noch sagen warum ich gegen 0+ marschiere? Ich dachte, wenn man etwas von der Form [Zahl:0] hat, muss ich eine Fallunterscheidung machen, für 0+ und 0-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Herzlichen Dank!
>
> Kannst du mir nun noch sagen warum ich gegen 0+
> marschiere? Ich dachte, wenn man etwas von der Form
> [Zahl:0] hat, muss ich eine Fallunterscheidung machen, für
> 0+ und 0-
Die Funktion ist aber für $x<0$ nicht definiert, also fällt der Fall 0- sowieso weg.
Für das Integral braucht man tatsächlich nur den Grenzwert 0+, weil man sich der unteren Grenze von oben nähert.
Entsprechend nähert man sich der oberen Grenze von unten, aber hier ist das egal, weil man sich [mm] $\infty$ [/mm] kaum von oben nähern kann. Ein Beispiel:
[mm] \integral_{1/2}^{1} \bruch{1}{\sqrt{1-x}} dx [/mm]
Hier musst du
[mm] \lim_{b\to1-} \integral_{1/2}^{b} \bruch{1}{\sqrt{1-x}} dx [/mm]
bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
> Wir zeigen, dass das uneigentlich Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{1/x^2 dx}[/mm] divergent ist
>
> Sei c=1 und [mm]\varepsilon[/mm] > 0, dann gilt:
> [mm]\integral_{\varepsilon}^{1}{f(x) dx}[/mm] = [mm]1/\varepsilon[/mm] -1 für
> [mm]\varepsilon[/mm] -> 0 = [mm]\infty[/mm]
>
> daher ist [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] divergent und damit
> auch [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
Bekanntermaßen ist [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] immer größer als 0. Wenn ich also zeige, dass die Funktion schon im Intervall [0,1] eine unendlich große Fläche einschließt, dann doch erst recht im Intervall [mm] [0,\infty [/mm] ], oder ?
Das wurde hier gemacht. Man hat praktisch die "Vermutung", dass es schon allein im Intervall [0,1] "divergiert". Da macht man sich natürlich nicht die Mühe und rechnet mit [mm] \infty [/mm] als oberer Grenze, sondern nimmt 1.
Grüße,
Stefan
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