unbestimmtes Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mo 01.01.2007 | | Autor: | cardia |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende unbestimmte Integral mit Hilfe der Tabelle der Grundintegrale:
a) [mm] \integral{sin(arcsin(\wurzel{e^{-2ln(1/x)}})) dx} [/mm] |
Ich habe das Integral schon etwas vereinfacht:
[mm] \integral{sin(arcsin(e^{-ln(1/x)})) dx}
[/mm]
doch was könnte ich weiter tun??????
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mo 01.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
als erstes würde ich den Ausdruck [mm] e^{-ln(\bruch{1}{x})} [/mm] noch etwas umschreiben.
[mm] e^{-ln(\bruch{1}{x})}=\bruch{1}{e^{ln(\bruch{1}{x})}}=\bruch{1}{(\bruch{1}{x})}=x
[/mm]
Da der natürliche Logarithmus ja die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist.
Nun steht da nur noch: [mm] \integral_{}^{}{sin(arcsin(x)) dx}=\integral_{}^{}{x dx}
[/mm]
Wenn der Arcussinus die Umkehrfunktion zur Sinusfunktion ist, muss das gleich gelten wie bei der e-Funktion und der Logarithmusfunktion.
Der Rest dürfte nicht allzu schwierig sein, denke ich.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 02.01.2007 | | Autor: | cardia |
Hallo clwoe!
Leider konnte ich erst jetzt Deine schnelle Antwort lesen.
Doch wie kommt man von [mm] \bruch{1}{e^{ln(1/x)}} [/mm] auf [mm] \bruch{1}{(1/x)} [/mm] ?
Allein mit Kenntniss der Umkehrfunktion der e-Funktion komme ich da nicht hin.
Danke!
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
> Hallo clwoe!
> Leider konnte ich erst jetzt Deine schnelle Antwort
> lesen.
> Doch wie kommt man von [mm]\bruch{1}{e^{ln(1/x)}}[/mm] auf
> [mm]\bruch{1}{(1/x)}[/mm] ?
>
[mm] $\rmfamily \text{Die }e\text{-Funktion ist die Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion (oder anders herum). Es verhält}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{genau so wie mit }\sin\left(\operatorname{arcsin}\left(x\right)\right)\text{.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{In anderen Worten: }\ln \left(\bruch{1}{x}\right)\text{ bedeutet: }e\text{ hoch wie viel ist }\bruch{1}{x}\text{?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Wenn du dann rechnest }e\text{ hoch das Ergebnis von gerade, dann kommst du aus rein logischen Gründen}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{auf das Argument des Logarithmus.}$
[/mm]
> Allein mit Kenntniss der Umkehrfunktion der e-Funktion
> komme ich da nicht hin.
>
> Danke!
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 02.01.2007 | | Autor: | cardia |
etwas so?
[mm] y=\bruch{1}{e^{ln(1/x)}}
[/mm]
[mm] {e^{ln(1/x)}}=\bruch{1}{y}
[/mm]
ln(1/x)*ln(e)=ln(1/y)
ln(x)=ln(y) (kann man hier einfach ln rauskürzen????)
x=y
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 02.01.2007 | | Autor: | Dea |
Hallo Cardia!
Du machst es dir gerade selbst etwas schwerer als es ist ;)
Wie bereits erklärt ist ln die Umkehrfunktion von e und umgekehrt, d.h. wenn man beide hintereinander anwendet, landet man einfach beim Funktionswert, also [mm] e^{ln(x)}=x
[/mm]
und [mm] ln(e^{x})=x
[/mm]
Es läuft also analog wie bei dem Abschnitt mit sin(arcsin(x)), was einfach x ist (diese Stelle hast du ja verstanden, soweit ich das erkennen konnte, oder?).
Du kannst es aber natürlich so mit deinem Ansatz ausrechen:
Somit könntest du in der zweiten Zeile deiner Rechnung
[mm] {e^{ln(1/x)}}=\bruch{1}{y} [/mm]
einfach anwenden, dass [mm] e^{ln(1/x)}=1/x)
[/mm]
und da stände dann schon 1/x=1/y und somit dann x=y
Wenn man so wie du weiterrechnest, dann kann man den ln nicht "einfach wegkürzen" in Sinne einer normalen Kürzung (das würde ja dann heißen durch den ln zu dividieren), aber man kann auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden und hätte wieder die Situation, dass man eine Umkehrfunktion auf die andere anwendet und somit nur noch der Funktionswert stehen bleibt. Letztendlich fällt der ln also schon auf beiden Seiten raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Di 02.01.2007 | | Autor: | cardia |
Danke Euch!
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