unbestimmt integrieren < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Fr 23.01.2009 | | Autor: | esinum |
| Aufgabe | integriere unbestimmt:
[mm] \integral_{}^{}{x arctg(x) dx} [/mm] |
so.. nun hab ich durch "partielle integration" die Lösung
[mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] arctg(x) - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] - arctg(x)
rausbekommen..
nun steht aber bei der musterlösung, die ein freund im Tuorium mitgeschrieben hat
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] arctg(x)(x²+1) - [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
und das soll die zusammenfassung von dem hier sein:
[mm] \bruch{1}{2}x² [/mm] arctg(x) - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}arctg(x) [/mm] +c
irgendwie steh ich aufm schlauch. weder finde ich meinen Fehler, noch sehe ich ein, wie Mr Tutor darauf kommt...
Bin dankbar für jede Hilfe
lg esinum
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Hallo esinum,
> integriere unbestimmt:
> [mm]\integral_{}^{}{x arctg(x) dx}[/mm]
> so.. nun hab ich durch
> "partielle integration" die Lösung
> [mm]\bruch{1}{2}x²[/mm] arctg(x) - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] - arctg(x)
> rausbekommen..
Die partielle Integration liefert folgendes:
[mm]\integral_{}^{}{x \operatorname{arctg}\left(x\right) \ dx}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}x^{2}*\operatorname{arctg}\left(x\right)-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{x ^{2} \left( \ \operatorname{arctg}\left(x\right) \ \right)' \ dx}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}x^{2}*\operatorname{arctg}\left(x\right)-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{x ^{2} \bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}x^{2}*\operatorname{arctg}\left(x\right)-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ \bruch{x^{2}}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}x^{2}*\operatorname{arctg}\left(x\right)-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{ \bruch{x^{2}+1-1}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}x^{2}*\operatorname{arctg}\left(x\right)-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{1- \bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}x^{2}*\operatorname{arctg}\left(x\right)-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{1 \ dx}\blue{+}\green{\bruch{1}{2}}\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} \ dx}[/mm]
Demnach ist bei Deiner Lösung ein Vorzeichenfehler passiert
und der Faktor [mm]\green{\bruch{1}{2}}[/mm] verlorengegangen
>
> nun steht aber bei der musterlösung, die ein freund im
> Tuorium mitgeschrieben hat
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] arctg(x)(x²+1) - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> und das soll die zusammenfassung von dem hier sein:
> [mm]\bruch{1}{2}x²[/mm] arctg(x) - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}arctg(x)[/mm] +c
>
>
>
> irgendwie steh ich aufm schlauch. weder finde ich meinen
> Fehler, noch sehe ich ein, wie Mr Tutor darauf kommt...
>
>
> Bin dankbar für jede Hilfe
>
> lg esinum
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 23.01.2009 | | Autor: | esinum |
wow... dankeschön.. hab ich due 1/2 einfach weggelassen.. stimmt
*schäm*
wobei mir die umformung vom tutor immernoch fremd ist.. wie lautet denn da die regel?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Blech |
> wobei mir die umformung vom tutor immernoch fremd ist.. wie
> lautet denn da die regel?
Man nennt es "Ausklammern" und es funktioniert nach dem "Distributivgesetz":
a*c+b*c=(a+b)*c
=P
Der Tutor hat noch die Konstante weggelassen. Ob man die nun haben will oder sich nur dazu denkt "bis auf Konstante", ist Geschmackssache.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Fr 23.01.2009 | | Autor: | esinum |
=) cool, danke
wusst nich, dass man das auch so machen kann.. uiuiui
ich lass meins einfach so stehn..
danke euch beiden!
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