unbestimmt integrieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 Fr 30.06.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fläche zwichen dem Graphen und der x-Achse:
[mm] f(x)=x\*e^{-x^{2}} [/mm] |
Der Graph schneidet die x-Achse ja nur einmal bei (0/0).
Jetzt gibt es ja 3 Möglichkeiten:
1. Berechnung der Fläche [mm] [-\infty,0] [/mm] , davon Betrag * 2 (wg. Symmetrie)
2. Berechnung der Fläche [0, [mm] +\infty] [/mm] * 2 (wg. Symmetrie)
3. Berechnung der Fläche [mm] [-\infty, [/mm] 0], davon Betrag + Fläche [0, [mm] \infty]
[/mm]
Egal, welchen Ansatz man wählt, man kommt ja nicht an einer unbestimmten Integration vorbei. Aber wie löst man so ein unbestimmtes Integral?
Ich wähle jetzt z.B. die 2. Möglichkeit.
=> [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{0}^{+\infty}{f(x) dx} [/mm] =
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{0}^{+\infty}{x\*e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
War der Ansatz richtig? Wie integriere ich das nun?
Da muss doch bestimmt was substituiert werden, um anstatt dem [mm] \infty [/mm] einen konkreten Wert einsetzen zu können?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Fr 30.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
> Berechnen Sie die Fläche zwichen dem Graphen und der
> x-Achse:
>
> [mm]f(x)=x\*e^{-x^{2}}[/mm]
> Der Graph schneidet die x-Achse ja nur einmal bei (0/0).
> Jetzt gibt es ja 3 Möglichkeiten:
> 1. Berechnung der Fläche [mm][-\infty,0][/mm] , davon Betrag * 2
> (wg. Symmetrie)
> 2. Berechnung der Fläche [0, [mm]+\infty][/mm] * 2 (wg. Symmetrie)
> 3. Berechnung der Fläche [mm][-\infty,[/mm] 0], davon Betrag +
> Fläche [0, [mm]\infty][/mm]
>
Korrekt
> Egal, welchen Ansatz man wählt, man kommt ja nicht an einer
> unbestimmten Integration vorbei. Aber wie löst man so ein
> unbestimmtes Integral?
>
> Ich wähle jetzt z.B. die 2. Möglichkeit.
> => [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{+\infty}^{0}{f(x) dx}[/mm]
> =
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{+\infty}^{0}{x\*e^{-x^{2}} dx}[/mm]
>
> War der Ansatz richtig? Wie integriere ich das nun?
Korrekt, setze jetz für unendlich eine Variable, z.B.: n
Aus [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{+\infty}^{0}{x\*e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
wird dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{n}^{0}{x\*e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
Jetzt misst du noch die Stammfunktion bilden und dann diene Variable n "laufen lassen"
> Da muss doch bestimmt was substituiert werden, um anstatt
> dem [mm]\infty[/mm] einen konkreten Wert einsetzen zu können?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Ich hoffe, das hilft ein wenig weiter
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 30.06.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Ok, dann integriere ich mal [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{x*e^{-x^{2}}dx} [/mm] => (Subst.)
Subst: u = [mm] -x^{2}
[/mm]
du/dx = -2x
dx = du/-2x
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{x*e^{u}}du/-2x
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{e^{u}}du/-2
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{-1/2*e^{u}}du
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*\integral_{n}^{0}{e^{u}}du
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*[e^{u}] [/mm] i. d. Grenzen 0 und n
Rücksubst.:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*[e^{-x^{2}}] [/mm] i. d. Grenzen 0 und n
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Ich hoffe, es ist bis dahin richtig. Aber wie geht es nun weiter? Was meinst du mit "Variable n laufen lassen"? Etwa den Grenzwert für n bilden und einsetzen?
dann würde ich das Integral also lösen:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*[e^{-x^{2}}] [/mm] i. d. Grenzen 0 und n
=1/2 *(1 (für [mm] e^{0}) [/mm] - [mm] e^{n}). [/mm] Aber n geht doch gegen [mm] +\infty [/mm] ?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 30.06.2006 | | Autor: | Lolli |
> Ok, dann integriere ich mal [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{x*e^{-x^{2}}dx}[/mm]
> => (Subst.)
>
> Subst: u = [mm]-x^{2}[/mm]
> du/dx = -2x
> dx = du/-2x
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{x*e^{u}}du/-2x[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{e^{u}}du/-2[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{n}^{0}{-1/2*e^{u}}du[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*\integral_{n}^{0}{e^{u}}du[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*[e^{u}][/mm] i. d. Grenzen 0
> und n
>
> Rücksubst.:
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*[e^{-x^{2}}][/mm] i. d.
> Grenzen 0 und n
>
sieht gut aus
>
> Ich hoffe, es ist bis dahin richtig. Aber wie geht es nun
> weiter? Was meinst du mit "Variable n laufen lassen"? Etwa
> den Grenzwert für n bilden und einsetzen?
>
> dann würde ich das Integral also lösen:
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1/2*[e^{-x^{2}}][/mm] i. d.
> Grenzen 0 und n
> =1/2 *(1 (für [mm]e^{0})[/mm] - [mm]e^{n}).[/mm] Aber n geht doch gegen
> [mm]+\infty[/mm] ?!?
Beim Auflösen des Integrals ist dir ein kleiner Fehler passiert: aus [mm]e^{-x^{2}}[/mm] folgt wenn du n einsetzt[mm] e^{ - n^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^{n^{2}}[/mm] und das wird 0, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] läuft.
Alles klar?
Gruß Lolli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Fr 30.06.2006 | | Autor: | RalU |
Ah, stimmt! Jetzt ists klar! Danke für deine Hilfe!
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