unabhängige Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zwei unabhängige Zufallsvariablen X bzw. Y seien normalverteilt mit E[x)=2 und Var[x]=16 bzw. E[Y]=3 und Var[Y]=9.
I) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Y größer X?
II) Bestimmen Sie E[Y-X] und Var[Y-X].
III) Berechnen Sie den Median und die Quartile von Y-X. |
Hallo,
hier muss ich ehrlich gestehen, dass ich nicht mal einen Ansatz habe. Kann mir wer nen Tip geben?
MfG
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Hallo,
wie wär es denn damit, einmal die zugehörigen Dichtefunktionen für X und Y aufzustellen, mit denen ist Aufgabe I schnell geklärt.
Zu II einfach mal ein wenig in deinen Unterlagen die Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz durcharbeiten. Dort sollte bspw. etwas über den Erwartungswert einer Summe (und damit auch einer Differenz) von Zufallsvariablen stehen. Bei der Varianz das gleiche, nur dass hier jetzt die stochastische Unabhängigkeit zu einer wesentlichen Vereinfach führt bzw. dazu, dass man hier mit den vorliegenden Angaben überhaupt weiterrechnen kann.
Bei Aufgabe III geht es darum, für die Differenz Y-X eine Verteilungsfunktion zu finden. Das ist ja dann auch kein großer Act mehr, wenn man II gerechnet hat...
Gruß, Diophant
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Ich weiß leider nicht wie man aus den Erwartungswerten bzw. der Varianz die Dichtefunktion aufstellt.
Bei Teilaufgabe 2 ist mir allerdings was eingefallen:
E[y-x] =E(y) - E(x) = 3-2=1
Var[y-x]=Var(y) - Var(x) = 16+9=25
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Hallo,
> Ich weiß leider nicht wie man aus den Erwartungswerten
> bzw. der Varianz die Dichtefunktion aufstellt.
Wortlaut Aufgabenstellung:
Zwei unabhängige Zufallsvariablen X bzw. Y seien normalverteilt
>
> Bei Teilaufgabe 2 ist mir allerdings was eingefallen:
> E[y-x] =E(y) - E(x) = 3-2=1
> Var[y-x]=Var(y) - Var(x) = 16+9=25
Ja, das meinte ich und beide Werte passen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
EDIT: Allerdings ist deine Berechnung der Varianz wie von Gonozal_IX angemerkt ziemlich 'verdreht'. So ginge es:
Var(Y-X)=Var(Y)+Var(-X)=Var(Y)+Var(X)=9+16=25
Gruß, Diophant
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Huhu diophant,
schau mal an, wie der die Varianz auseinander gezogen hat 
2 Fehler ergeben ein richtiges Ergebnis :-P
Gruß,
Gono.
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Hiho,
ja, aber doch nicht für die Subtraktion.
Da steht: Var(X-Y) = Var(X) - Var(Y) und das ist ja nun VARlich falsch
Gruß,
Gono.
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Hallo,
ich habe eine ähnliche Aufgabenstellung, in der auch nach Teil I gefragt wird. Die Dichtefunktionen müssten hier ja
[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{16}*\wurzel{2\pi}}*e^{-\bruch{(x-2)^2}{2*16}}=\bruch{1}{4*\wurzel{2\pi}}*e^{-\bruch{(x-2)^2}{32}}
[/mm]
[mm] f(y)=\bruch{1}{\wurzel{9}*\wurzel{2\pi}}*e^{-\bruch{(x-3)^2}{2*9}}=\bruch{1}{3*\wurzel{2\pi}}*e^{-\bruch{(x-3)^2}{18}}
[/mm]
sein. Jedoch weiß ich dannach auch nicht wie es weitergeht, vor allem weil bei der Verteilungsfunktion so ein "erf" enthalten ist.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Fry |
[mm]P((X,Y)\in A)=\int_A f_{(X,Y)}(x,y)d(x,y)[/mm] für [mm]A\subset \mathbb R^2[/mm]
Mit dem Satz von Fubini ergibt sich dann hier:
[mm]P(Y>X)=P^{(X,Y)}(\{(x,y)\in\mathbb R^2, y>x\})
=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{x}^{\infty}f(x,y)dy dx[/mm]
Nun ist [mm]f_{(X,Y)}(x,y)=f_{X}(x)*f_{Y}(y)[/mm] aufgrund der Unabhängigkeit von X und Y.$
LG,
Fry
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Hallo Fry,
danke für die schnelle Antwort.
Dann wäre ja
[mm] f(x,y)=\bruch{1}{24\pi}*e^{\bruch{(x-2)^2}{32}-\bruch{(y-3)^2}{18}
oder? Also da habe ich die Dichtefunktionen jetzt multipliziert und zusammengefasst. Sind die Dichtefunktionen denn richtig gewesen?
Mein Problem ist jetzt aber immernoch, dass ich ja keine Stammfunktion daraus bilden kann. Ich hatte es schon mit \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{y}{f(x,y) dxdy}
versucht, das müsste ja auch gehen oder?
Dann komme ich auf:
P(X
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Krümel,
du hast vollkommen Recht, hab das aufgeschrieben ohne über die gegebenen Verteilungen nachgedacht zu haben....
Allerdings kannst du hier gut die Faltungseigenschaften der Normalverteilung ausnutzen:
[mm]P(X
(1) [mm]Z=X-Y[/mm] ist wieder normalverteilt: [mm]X-Y[/mm]~[mm]\mathcal N(-1,25)[/mm] (dabei hab ich benutzt, dass [mm]aX+b[/mm]~[mm]\mathcal N(a*\mu+b,a^2\sigma^2)[/mm], falls [mm]X[/mm]~[mm]\mathcal N(\mu,\sigma^2)[/mm] und [mm]X+Y[/mm]~[mm]\mathcal N(\mu+\nu,\sigma^2+\tau^2)[/mm], falls [mm]X[/mm]~[mm]\mathcal N(\mu,\sigma^2)[/mm] und [mm]Y[/mm]~[mm]\mathcal N(\nu,\tau^2)[/mm]
(2) Dann hab ich [mm]Z[/mm] standardisiert,also auf die Form [mm]\frac{Z-E[Z]}{\sqrt{Var[Z]}}[/mm] gebracht
(3) Jetzt kann man die Normalverteilungstabelle benutzen.
VG,
Fry
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Vielen vielen Dank. Deine Antwort hat mir sehr geholfen und ich konnte es auch auf mein Beispiel super anwenden.
Eine Kleinigkeit habe ich jedoch nicht verstanden: Bei Punkt (1) verstehe ich, dass X-Y~N(-1,25) verteilt ist, da ja 2-3=-1 und [mm] 3^2+(-4)^2=25.
[/mm]
Aber was meinst du damit, dass du [mm] aX+b~N(a\mu+b,a^2o^2) [/mm] benutzt hast? (hab das Sigma nicht gefunden)
Woher kommen das a und das b?
Der Rest ist für mich echt gut nachvollziehbar. Danke nochmal :)
PS: Kann man in diesem Forum Antworten bewerten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Fry |
Hey,
das war eigentlich nur dazu gedacht, zu sehen, dass
-Y auch wieder normalverteilt ist :) (also a=-1 und b=0) und dann X+(-Y) auch wieder normalverteilt ist.
Lg
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Kruemel91 |
achso. jetzt versteh ich es :)
danke
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