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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{1+cos(\theta)+i*sin(\theta)}{1-cos(\theta)+i*sin(\theta)}=cot\left(\bruch{\theta}{2}\right)*e^{i*\bruch{\theta-\pi}{2}} [/mm] |
Hi,
also ich habe damit angefangen, den Bruch mit [mm] 1-cos(\theta)-i*sin(\theta) [/mm] zu multiplizieren um in Nenner eine reelle Zahl zu bekommen, das klappt auch, es ergibt sich:
[mm] \bruch{1-2isin(\theta)cos(\theta)+sin^2(\theta)-cos^2(\theta)}{2-2cos(\theta)}
[/mm]
Jetzt habe ich verschiedene Sachen ausprobiert, zuerst der Halbwinkelsatz (heisst das so auf deutsch). Was ich meine ist [mm] sin(2*\bruch{\theta}{2})=2*sin(\bruch{\theta}{2})*cos(\bruch{\theta}{2})
[/mm]
Damit kriege ich zumindest [mm] cot(\bruch{\theta}{2}) [/mm] aber nicht den ausdruck danach...
Ist mein ansatz richtig ?
lg,
exeqter
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Hallo eXeQteR,
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\bruch{1+cos(\theta)+i*sin(\theta)}{1-cos(\theta)+i*sin(\theta)}=cot\left(\bruch{\theta}{2}\right)*e^{i*\bruch{\theta-\pi}{2}}[/mm]
> Hi,
>
> also ich habe damit angefangen, den Bruch mit
> [mm]1-cos(\theta)-i*sin(\theta)[/mm] zu multiplizieren um in Nenner
> eine reelle Zahl zu bekommen, das klappt auch, es ergibt
> sich:
>
> [mm]\bruch{1-2isin(\theta)cos(\theta)+sin^2(\theta)-cos^2(\theta)}{2-2cos(\theta)}[/mm]
>
> Jetzt habe ich verschiedene Sachen ausprobiert, zuerst der
> Halbwinkelsatz (heisst das so auf deutsch). Was ich meine
> ist
> [mm]sin(2*\bruch{\theta}{2})=2*sin(\bruch{\theta}{2})*cos(\bruch{\theta}{2})[/mm]
>
> Damit kriege ich zumindest [mm]cot(\bruch{\theta}{2})[/mm] aber
> nicht den ausdruck danach...
Mit der Anwendung der Halbwinkelformeln liegst Du richtig.
>
> Ist mein ansatz richtig ?
Zuerst mußt Du den komplexen Ausdruck etwas umformen,
dann kannst Du gegebenfalls die Halbwinkelformeln anwenden.
Beachte, dass Du auf den Nenner
auch die Halbwinkelformel anwenden mußt.
>
> lg,
>
> exeqter
Gruss
MathePower
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