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| Aufgabe | | Sei [mm] z=e^{i*\theta} [/mm] , zeigen Sie, dass [mm] cos(n\theta)=\bruch{1}{2}*\left(z^n+\bruch{1}{z^n}\right) [/mm] |
hallo,
ich muss also obigen ausdruck umformen, als erstes kam mir de moivres theorem in den kopf, also einfach mal die exponentialform potenzieren und dann in polarkoordinaten ueberfuehren, dann bekomme ich also:
[mm] z^{n}=e^{i*n\theta}=cos(n\theta)+i*sin(n\theta) [/mm] , ab dem punkt bin ich dann auch schon mehr ioder weniger verloren.
Meine zweite idee war auszunutzen, dass [mm] cos(z)=\bruch{e^{i*z}+e^{-i*z}}{2} [/mm] . Das bringt mich aber irgendwie nicht dahin, dass ich ein [mm] cos(n\theta) [/mm] bekomme.
Kann sich jemand meiner annehmen ?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 So 06.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo exeqter!
> [mm]cos(n\theta)=\bruch{1}{2}*\left(z_n+\bruch{1}{z_n}\right)[/mm]
Soll das $n_$ wirklich jeweils tiefergestellt sein (also als Index), oder nicht doch als Exponent [mm] $z^{\red{n}}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 So 06.12.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hey loddar,
entschuldige, es soll natuerlich ein exponent sein, ich aendere es sofort.
Sorry!!
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Hallo Auslöscher 
> Sei [mm]z=e^{i*\theta}[/mm] , zeigen Sie, dass
> [mm]cos(n\theta)=\bruch{1}{2}*\left(z_n+\bruch{1}{z_n}\right)[/mm]
Sind die Indizes als Hochzahlen gemeint?
Ansonsten die Frage, was ist [mm] $z_n$?
[/mm]
> hallo,
>
> ich muss also obigen ausdruck umformen, als erstes kam mir
> de moivres theorem in den kopf, also einfach mal die
> exponentialform potenzieren und dann in polarkoordinaten
> ueberfuehren, dann bekomme ich also:
>
> [mm]z^{n}=e^{i*n\theta}=cos(n\theta)+i*sin(n\theta)[/mm] , ab dem
> punkt bin ich dann auch schon mehr ioder weniger verloren.
>
> Meine zweite idee war auszunutzen, dass
> [mm]cos(z)=\bruch{e^{i*z}+e^{-i*z}}{2}[/mm] . Das bringt mich aber
> irgendwie nicht dahin, dass ich ein [mm]cos(n\theta)[/mm] bekomme.
>
> Kann sich jemand meiner annehmen ?
Der letzte Ansatz scheint mir der richtige, danach ist alles trivial:
Mit [mm] $z=e^{i\theta}$ [/mm] ist doch [mm] $z^n=\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$
[/mm]
Es ist nach deiner Kosinusformel oben doch [mm] $\cos(n\theta)=\frac{e^{in\theta}+e^{-in\theta}}{2}=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{in\theta}+e^{-in\theta}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{in\theta}+\frac{1}{e^{in\theta}}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right)$
[/mm]
Bleibt die Frage, ob da bei [mm] $z_n$ [/mm] im Aufgabentext wirklich [mm] $z^n$ [/mm] gemeint ist oder ob ich das in meinem jugendlichen Leichtsinn nun doch falsch interpretiert habe ...
>
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 So 06.12.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
du rettest meine mittagspause. es sind natuerlich exponenten.
der jugendliche leichtsinn ist eher der meinige ;) sieht man z.B. an meinem nicknamen aus ur-zeiten ;) In diesem Sinne,
vielen Dank
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Zu frueh gefreut,
wie kommst du von cos(z) auf [mm] cos(n\theta) [/mm] . ist [mm] cos(e^{i*n*\theta})=cos(n*\theta) [/mm] ?
Steh ich schon auf dem naechsten schlauch ?
lg
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Hallo nochmal,
> Zu frueh gefreut,
>
> wie kommst du von cos(z) auf [mm]cos(n\theta)[/mm] . ist
> [mm]cos(e^{i*n*\theta})=cos(n*\theta)[/mm] ?
>
> Steh ich schon auf dem naechsten schlauch ?
Ja, auf einem dicken Schlauch.
Du hast selber geschrieben, dass [mm] $\cos(\red{z})=\frac{e^{i\red{z}}+e^{-i\red{z}}}{2}$ [/mm] ist für alle [mm] $z\in\IC$
[/mm]
Du willst [mm] $\cos(\red{n\theta})$ [/mm] berechnen, setze [mm] $\red{z:=n\theta}$ [/mm] in die Formel für den Kosinus ein, das ist ja sicher auch ein Element aus [mm] $\IC$ [/mm] ...
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 So 06.12.2009 | | Autor: | MontBlanc |
scheisse...(entschuldigt die wortwahl) ich glaube ich erwuerge mich hier gleich vor allen anderen in der bibliothek mit einem druckerkabel!
du hast natuerlich recht! Ich bin einfach nur blind.
lg,
exeqter
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Nana,
vllt. hilft eine ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") 
Kommt öfter vor, als man glauben möchte ...
Wer kennt das nicht ...
Also schönen Sonntag noch
schachuzipus
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