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Hallo zusammen:
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
a) Seien a,b Elemente aus den reellen Zahlen mit a [mm] \le [/mm] b. Finden sie eine bijektive Funktion von [a,b) nach (a,b] an.
b) Zeigen sie :
(0,1) = Vereinigung der Intervalle [mm] [mm] [\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n} [/mm] )[mm/]
(0,1] = Vereinigung der Intervalle [mm] ( [mm] \bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n})[mm/]
[/mm]
c) Geben sie eine bijektive Funktion von (0,1) auf (0,1] an.
d) Geben sie eine bijektive Funktion von [0,1] auf (0,1) an.
Zu d)
Die Funktion ist doch z.B.: f(x)=1/(x+1)
Zu c)
Die Funtion ist doch z.B.: f(x)=x+0,5
Zu a) f(x) = x+b/2
Sind die Lösungen richtig und kann mir jemand bei Aufgabe b helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Mi 01.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
soll deine aufgabe b) so lauten:
[m] (0, 1) = \bigcup_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)[/m]
[m] (0, 1] = \bigcup_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)[/m]
?
(klicke mal auf die grafik, dann siehst du, wie man sowas eingibt! ich befürchte nicht alle machen sich die mühe den quelltext anzuschauen!) und dann schaue bitte nochmal nach, ob die aufgabe wirklich so gestellt ist, insbesondere die offenen und abgeschlossenen intervallgrenzen!
aus denen von dir angegeben funktionen werde ich nicht so recht schlau: bei aufgabe a) muss auf jeden fall etwas mit $-x$ in dem term vorkommen, wenn du eine stetige abbildung betrachten willst, da das intervall ja in einem gewissen sinne "umgedreht" wird (da offenes und abgeschlossenes ende vertauscht werden!). außerdem muss die funktion ja $a$ auf $b$ und $b$ auf $a$ abbilden und das tut deine ja im allgemeinen nicht. aber der ansatz mit der linearen funktion sollte funkionieren, du könntest es ja mal mit "punkt-steigungs-form" probieren, oder wie die auch immer heißt (die steigung kannst du ja aus den beiden punkten berechnen). außerdem solltest du eine fallunterscheidung für $a=b$ und $a < b$ machen!
die funktionen in aufgabe c) und d) können nicht stetig sein (das hat topologische gründe) bei c) könnte man es mit einem ähnlichen verfahre wie in "hilberts-hotel" versuchen, wenn dir das etwas sagt! z.b. [m] f: (0, 1) \to (0, 1] [/m] mit [m] f(x) \begin{cases}x & \textrm{ wenn } x \textrm{ keine 2-er potenz} \\ 2^{-n+1} & \textrm{ wenn } x = 2^{-n} \textrm{ für ein } n \in \mathbb{N} \end{cases} [/m] probiere mal dahinter zu kommen warum die funktion bijektiv ist.
ich hofe das hilft schonmaletwas weiter.
grüße
andreas
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Genau das war gemeint! Die Symbole wurden nur nicht angezeigt und deshalb wusste ich nicht wie ichs eingeben soll. Vielen Dank!
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