Übungen zu Potenzgesetzen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe 1 | | Ist $ -2^6 $ kleiner, gleich oder größer als $ (-2)^6 $? |
| Aufgabe 2 | Forme den Term mit Hilfe der Potenzgesetze in möglichst einfache,
gleichwertige Terme mit natürlichem Exponenten um!
$ [x^2 \cdot{}(x\cdot{}y^3)^2]^5 $
$ \bruch{\bruch{1}{4}s^3\cdot{} t^2 + 2 \cdot{} s^2 \cdot{} t^5}{ \bruch{1}{2} \cdot{} s^2 \cdot{} t^2 $
$ \bruch{[x^2 -8x +16]^{7n+3}}{(x-4)^{5n-4}} $ |
| Aufgabe 3 | Berechne so weit wie möglich
$ 1-\bruch{a^5}{ a^7} + \bruch{1}{ a^2} $
$ \bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}} + \bruch{2-a}{a^{n-2}} $ |
| Aufgabe 4 | Bestimme die Lösungsmenge
$ 2^{3x} \cdot{}4 = 2^{11} $ |
Hi!
Ich schreibe bald eine Mathearbeit über Potenzgesetze und habe mich deswegen an den Übungsaufgaben unter dieser Adresse versucht: hier. Es wäre nett, wenn ihr meine Lösungen mal überprüfen könntet und mir auf meine noch offene Fragen Denkanstöße gebt.
Aufgabe 1
Ich bin der Meinung, dass $ [mm] -2^6 [/mm] $ kleiner ist als $ [mm] (-2)^6 [/mm] $, da sich bei letzterem das Vorzeichen auflößt.
Aufgabe 2
2.1) [mm] $[x^2 \cdot{}(x\cdot{}y^3)^2]^5 [/mm] = [mm] x^{10}*(x*y^{3})^{10} [/mm] = [mm] x^{20}*y^{30}$
[/mm]
2.2) [mm] $\bruch{\bruch{1}{4}s^3\cdot{} t^2 + 2 \cdot{} s^2 \cdot{} t^5}{ \bruch{1}{2} \cdot{} s^2 \cdot{} t^2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}s^{3}t^{2}}{\bruch{1}{2}s^{2}t^{2}}+\bruch{2s^{2}t^{5}}{\bruch{1}{2}s^{2}t^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}s+4t^{3}$
[/mm]
2.3) [mm] $\bruch{[x^2 -8x +16]^{7n+3}}{(x-4)^{5n-4}} [/mm] = [mm] \bruch{((x-4)^{2})^{7n+3}}{(x-4)^{5n-4}} [/mm] = [mm] \bruch{((x-4)^{2})^{7n}*((x-4)^{2})^{3}}{(x-4)^{5n-4}} [/mm] = [mm] \bruch{(x-4)^{14n}*(x-4)^{6}}{(x-4)^{5n-4}} [/mm] = [mm] \bruch{(x-4)^{14n+6}}{(x-4)^{5n-4}}$ [/mm] Ab hier weiß ich nicht mehr weiter.
Aufgabe 3
3.1) [mm] $1-\bruch{a^5}{ a^7} [/mm] + [mm] \bruch{1}{ a^2} [/mm] = [mm] 1-a^{-2}+a^{-1}$ [/mm] ist geklärt
3.2) [mm] $\bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}} [/mm] + [mm] \bruch{2-a}{a^{n-2}} [/mm] = [mm] 2a^{3-n}-a^{2-n}-a^{7-n}-a^{6-n}+\bruch{2}{a^{n-2}}-a^{-1-n}$ [/mm] Hier weiß ich auch nicht mehr weiter. ist geklärt
Aufgabe 4
[mm] $2^{3x} \cdot{}4 [/mm] = [mm] 2^{11}$
[/mm]
[mm] $\gdw 2^{3x} [/mm] * [mm] 2^{2} [/mm] = [mm] 2^{11} [/mm] | [mm] /2^{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw 2^{3x} [/mm] = [mm] 2^{9}$ [/mm] Wie komme ich nun auf das x? ist geklärt
Vielen Dank, Paul
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Mit der Logarithmusfunktion kannst du den Exponent "freistellen".
Brauchst du aber nicht. Eigentlich sieht man durch "hinsehen" die Lösung, wenn man nur den Exponent betrachtet. Wann ist denn der Exponent gleich und somit die Gleichung erfüllt?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:12 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Bei Aufgabe 4 müsste der Exponent natürlich 9 sein, das x also für 3 stehen. Kannst du mir ein Beispiel zur wirklich vollständigen schriftlichen Lösung der Aufgabe (und auch den anderen) geben?
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 04.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Aufgabe 4:
z.B.
[mm] 3^{5*x} [/mm] = [mm] 3^{13}
[/mm]
Jetzt kannst du von Beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 3 (!) machen.
[mm] log_{3}(3^{5*x}) [/mm] = [mm] log_{3}(3^{13})
[/mm]
[mm] 5*x*log_{3}(3) [/mm] = 13 * [mm] log_{3}(3) [/mm] | Teilen durch [mm] log_{3}(3) [/mm]
5x = 13
...
Übrigens [mm] log_{3}(3) [/mm] = 1.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Vielen Dank!
Müsste die Aufgabe dann so lauten:
$ [mm] 2^{3x} \cdot{}4 [/mm] = [mm] 2^{11} [/mm] $
$ [mm] \gdw 2^{3x} \cdot{} 2^{2} [/mm] = [mm] 2^{11} [/mm] | [mm] /2^{2} [/mm] $
$ [mm] \gdw 2^{3x} [/mm] = [mm] 2^{9} [/mm] $
$ [mm] \gdw log_{2}(2^{3x}) [/mm] = [mm] log_{2}(2^{9}) [/mm] | [mm] /log_{2}2$
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] 3x = 9 | /3$
$ [mm] \gdw [/mm] x = 3 $
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> Vielen Dank!
>
> Müsste die Aufgabe dann so lauten:
>
> [mm]2^{3x} \cdot{}4 = 2^{11}[/mm]
> [mm]\gdw 2^{3x} \cdot{} 2^{2} = 2^{11} | /2^{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2^{3x} = 2^{9}[/mm]
> [mm]\gdw log_{2}(2^{3x}) = log_{2}(2^{9}) | /log_{2}2[/mm]
>
> [mm]\gdw 3x = 9 | /3[/mm]
> [mm]\gdw x = 3[/mm]
Ja, genau. Du kannst in Zeile 3 auch schreiben
[mm] \gdw 2^{3x} = 2^{9} \qquad | log_{2}(\underline{\quad}) [/mm]
oder
[mm] \gdw 2^{3x} = 2^{9} \qquad | log_{2}(Term) [/mm]
, um kenntlich zu machen, dass du den dualen Logarithmus anwenden willst.
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Aufgabe 3a)
1 - [mm] \bruch{a^{5}}{a^{7}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a^{2}} [/mm]
Da kommt 1 raus, weil [mm] \bruch{a^{5}}{a^{7}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a^{2}} [/mm]
Aufgabe 3b)
Hier wäre es sinnvoll, alles auf den gleichen Nenner zu bringen (z.B. [mm] a^{n})
[/mm]
Zum Beispiel in [mm] \bruch{a^{5} - a^{4}}{a^{n+2}} [/mm] =
= [mm] \bruch{a^{5}}{a^{n}*a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{a^{4}}{a^{n}*a^{2}} [/mm]
Und nun kürzen:
= [mm] \bruch{a^{3}}{a^{n}} [/mm] - [mm] \bruch{a^{2}}{a^{n}} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Hi!
Ist 3.2 dann so richtig:
$ [mm] \bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} [/mm] = [mm] \bruch{2a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} [/mm] = [mm] \bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{2a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}}$
[/mm]
beim letzten weiß ich immer noch nicht weiter.
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 So 04.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi!
>
> Ist 3.2 dann so richtig:
>
> [mm]\bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} = \bruch{2a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} = \bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{2a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}}[/mm]
>
> beim letzten weiß ich immer noch nicht weiter.
Hallo,
erweitere den letzten Bruch mit [mm] a^2.
[/mm]
Eines deiner Minuszeichen zwischen den Brüchen ist übrigens falsch und muss durch ein Plus ersetzt werden.
Gruß Abakus
>
> Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Wenn ich mit [mm] a^{2} [/mm] erweitere, sieht das dann so aus:
$ [mm] \bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} [/mm] = [mm] \bruch{2a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} [/mm] = [mm] \bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{2a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{-2a^{2}+2}{a^{n}}$ [/mm]
Ich weiß leider nicht, welches Minuszeichen du meinst, ich würde sagen die Stimmen so.
Paul
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Hallo
du hast
[mm] \bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}}
[/mm]
jetzt ist dein Ziel, alles auf einen Bruchstrich zu schreiben, also brauchst du den Hauptnenner [mm] a^{n+2}, [/mm] der 1. Bruch ist mit [mm] a^{2} [/mm] zu erweitern, den zweiten Bruch kannst du so belassen, der 3, Bruch ist mit [mm] a^{4} [/mm] zu erweitern
[mm] \bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^{n}}*\bruch{a^{2}}{a^{2}}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}}*\bruch{a^{4}}{a^{4}}
[/mm]
[mm] \bruch{2a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2a^{4}-a^{5}}{a^{n+2}}
[/mm]
jetzt alles auf einen Bruchstrich, beachte dabei die Vorzeichen im Zähler
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
$ [mm] \bruch{2a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2a^{4}-a^{5}}{a^{n+2}} [/mm] = [mm] \bruch{2a^{5}-a^{4}-a^{5}+a^{4}+2a^{4}-a^{5}}{a^{n+2}} [/mm] = [mm] \bruch{2a^{4}}{a^{n+2}}$
[/mm]
Ist das so jetzt richtig?
Paul
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Hallo Paul94,
>
> [mm]\bruch{2a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2a^{4}-a^{5}}{a^{n+2}} = \bruch{2a^{5}-a^{4}-a^{5}+a^{4}+2a^{4}-a^{5}}{a^{n+2}} = \bruch{2a^{4}}{a^{n+2}}[/mm]
>
> Ist das so jetzt richtig?
Soweit ist das richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Kannst aber noch weiter vereinfachen.
>
> Paul
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Ich versuch's mal:
[mm] $\bruch{2a^{4}}{a^{n+2}} [/mm] = [mm] \bruch{2a^{2}}{a^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{a^{n-2}}$
[/mm]
Paul
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Hallo Paul94,
> Ich versuch's mal:
>
> [mm]\bruch{2a^{4}}{a^{n+2}} = \bruch{2a^{2}}{a^{n}} = \bruch{2}{a^{n-2}}[/mm]
>
> Paul
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 So 04.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich mit [mm]a^{2}[/mm] erweitere, sieht das dann so aus:
>
> [mm]\bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} = \bruch{2a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} = \bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{2a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}} = \bruch{-2a^{2}+2}{a^{n}}[/mm]
Hallo,
was ist denn an "erweitere mit [mm] a^2" [/mm] missverständlich?
Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs [mm] \bruch{2-a}{a^{n-2}} [/mm] mit [mm] a^2.
[/mm]
Dann haben sämtliche zu addierenden oder zu subtrahierenden Brüche den gleichen Nenner [mm] a^n.
[/mm]
Dein Vorzeichenfehler liegt in der anfänglichen Umformung von ... [mm] -\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}, [/mm] was NICHT [mm] ...-\bruch{a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}} [/mm] ergibt.
Gruß Abakus
>
> Ich weiß leider nicht, welches Minuszeichen du meinst, ich
> würde sagen die Stimmen so.
>
> Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
$ [mm] \bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} [/mm] = [mm] \bruch{2a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}}+\bruch{a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{a^n}$
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo Paul94,
>
> [mm]\bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} = \bruch{2a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}}+\bruch{a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^n} = \bruch{2}{a^n}[/mm]
Hier ist ein [mm]a^{2}[/mm] verlorengegangen:
[mm]\bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}}+\bruch{2-a}{a^{n-2}} = \bruch{2a^{3}}{a^{n}}-\bruch{a^{2}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^{n}}+\bruch{a^{2}}{a^{n}}+\bruch{2\red{a^{2}}}{a^{n}}-\bruch{a^{3}}{a^n} = \bruch{2\red{a^{2}}}{a^n}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Danke, ich hab mich schon gewundert, wie ich auf zwei verschiedene Ergebnisse komme.
Paul
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Hallo,
bitte stelle in Zukunft verschiedene Fragen in verschiedenen Diskussionen, also so, wie die lt. Forenregeln vorgesehen ist.
Es dient dazu, Chaos und mangelnden Überblick zu vermeiden.
> Ist [mm]-2^6[/mm] kleiner, gleich oder größer als [mm](-2)^6 [/mm]?
> Forme
> den Term mit Hilfe der Potenzgesetze in möglichst
> einfache,
> gleichwertige Terme mit natürlichem Exponenten um!
>
> [mm][x^2 \cdot{}(x\cdot{}y^3)^2]^5[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}s^3\cdot{} t^2 + 2 \cdot{} s^2 \cdot{} t^5}{ \bruch{1}{2} \cdot{} s^2 \cdot{} t^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{[x^2 -8x +16]^{7n+3}}{(x-4)^{5n-4}}[/mm]
> Berechne so
> weit wie möglich
>
> [mm]1-\bruch{a^5}{ a^7} + \bruch{1}{ a^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2a^{3}-a^{2}}{a^n}-\bruch{a^{5}-a^{4}}{a^{n+2}} + \bruch{2-a}{a^{n-2}}[/mm]
>
> Bestimme die Lösungsmenge
>
> [mm]2^{3x} \cdot{}4 = 2^{11}[/mm]
> Hi!
>
> Ich schreibe bald eine Mathearbeit über Potenzgesetze und
> habe mich deswegen an den Übungsaufgaben unter dieser
> Adresse versucht:
> hier.
> Es wäre nett, wenn ihr meine Lösungen mal überprüfen
> könntet und mir auf meine noch offene Fragen Denkanstöße
> gebt.
>
> Aufgabe 1
> Ich bin der Meinung, dass [mm]-2^6[/mm] kleiner ist als [mm](-2)^6 [/mm], da
> sich bei letzterem das Vorzeichen auflößt.
Hallo,
ja, es ist [mm] (-2)^6=2^6, [/mm] also positiv.
>
> Aufgabe 2
> 2.1) [mm][x^2 \cdot{}(x\cdot{}y^3)^2]^5 = x^{10}*(x*y^{3})^{10} = x^{20}*y^{30}[/mm]
richtig.
>
> 2.2) [mm]\bruch{\bruch{1}{4}s^3\cdot{} t^2 + 2 \cdot{} s^2 \cdot{} t^5}{ \bruch{1}{2} \cdot{} s^2 \cdot{} t^2} = \bruch{\bruch{1}{4}s^{3}t^{2}}{\bruch{1}{2}s^{2}t^{2}}+\bruch{2s^{2}t^{5}}{\bruch{1}{2}s^{2}t^{2}} = \bruch{1}{2}s+4t^{3}[/mm]
richtig.
>
> 2.3) [mm]\bruch{[x^2 -8x +16]^{7n+3}}{(x-4)^{5n-4}} = \bruch{((x-4)^{2})^{7n+3}}{(x-4)^{5n-4}} = \bruch{((x-4)^{2})^{7n}*((x-4)^{2})^{3}}{(x-4)^{5n-4}} = \bruch{(x-4)^{14n}*(x-4)^{6}}{(x-4)^{5n-4}} = \bruch{(x-4)^{14n+6}}{(x-4)^{5n-4}}[/mm]
> Ab hier weiß ich nicht mehr weiter.
Du hast im Zähler und im Nenner die Basis (x-4).
Es werden also Potenzen mit gleicher Basis geteilt, und dies geschieht nach der regel [mm] \bruch{a^x}{a^y}=a^{x-y}.
[/mm]
Dein Ergebnis muß also lauten [mm] (x-4)^{... - ...}= [/mm] ...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 04.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Hi!
Danke für deine Hilfe!
Kommt da dann das hier raus?
[mm] $\bruch{(x-4)^{14n+6}}{(x-4)^{5n-4}} [/mm] = [mm] (x-4)^{9n+2}$ [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 04.04.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
dein Ergebnis stimmt nicht. Rechne Zählerexponent minus Nennerexponent und beachte dass du um den Zählerexponenten zunächst eine Klammer schreiben musst. Wenn du diese richtig auflöst, kommst du auch auf das korrekte Ergebnis.
Ein Tipp: Mach so etwas in einer Prüfung niemals im Kopf, man verrechnet sich einfach zu leicht bei den Vorzeichen!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Di 06.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Ist denn das hier richtig?
$ [mm] \bruch{(x-4)^{14n+6}}{(x-4)^{5n-4}} [/mm] = [mm] (x-4)^{9n+10} [/mm] $
Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Di 06.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist denn das hier richtig?
>
> [mm]\bruch{(x-4)^{14n+6}}{(x-4)^{5n-4}} = (x-4)^{9n+10}[/mm]
>
Ja
FRED
> Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Di 06.04.2010 | | Autor: | Paul94 |
Danke für die vielen hilfreichen Antworten! Ich hoffe ihr hatte alle frohe Ostern!
Paul
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