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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 Sa 20.02.2016 | | Autor: | gfm |
| Aufgabe | "Es sei [mm] A_{n} [/mm] ... [mm] \subseteq X(n\in \IN) [/mm]...Dann gilt
...
e) [mm] (\overline {\limes} A_{n})\backslash\,(\underline {\limes} A_{n})= \overline {\limes}( A_{n} \vartriangle A_{n+1})[/mm] |
In natürlicher "Metasprache" würde man wie folgt argumentieren. Links werden von allen Elementen der Mengen, die in unendlich vielen Mengen enhalten sind, die entfernt, die in schließlich allen Mengen enthalten sind, sodass nur die Elemente verbleiben, welche sowohl in unendlich vielen Mengen enthalten sind als auch in unendlich vielen (anderen) Mengen nicht enthalten sind. Bei diesen Elementen muss es also unendlich oft das Enthaltensein und Fehlen im Nachfolger sowie das Fehlen und Enthalten sein im Nachfolger auftreten. Was gleichbedeutend mit dem Enthaltensein dieser Elemente in unendlich vielen symmetrischen Differenzen von aufeinander folgenden Mengen ist.
Gesucht ist jetzt eine "formale" Herleitung für die Gleichheit. Die linke Seite sollte wie folgt umgeformt werden können:
[mm](\overline {\limes} A_{n})\backslash\,(\underline {\limes} A_{n})=\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right) \backslash\,\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right) =\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right) \cap\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\right)=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k,l=n}^{\infty}(A_{k}\cap\ A_{l}^{c})=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k,l=n}^{\infty}(A_{k}\vartriangle A_{l})[/mm]
Für die rechte Seite sollte gelten:
[mm]\overline {\limes}( A_{n} \vartriangle A_{n+1})=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}(A_{k}\vartriangle A_{k+1})[/mm]
Durch welche Umformungen kann ich jetzt die Ausdrücke ineinander überführen?
LG
gfm
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:21 So 21.02.2016 | | Autor: | gfm |
Ist denn wenigstens die Prosa richtig?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 So 21.02.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo gfm!
Leider möchte ich mir gerade nicht die Zeit nehmen, mich im Detail hiermit zu befassen. Daher nur eine kurze erste Einschätzung von meiner Seite:
1. Anhand deines "Prosa-Textes" habe ich den Eindruck, dass du eine gute Vorstellung von dem Zusammenhang hast und seine Richtigkeit intuitiv verstanden hast. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
2. Deine Umformungen scheinen mir nicht zu einer Vereinfachung zu führen.
3. Wahrscheinlich ist es am einfachsten, beide Inklusionen (Teilmengenbeziehungen) [mm] "$\subseteq$" [/mm] und [mm] "$\supseteq$" [/mm] getrennt nachzuweisen und jeweils elementweise zu arbeiten. Etwa für [mm] "$\subseteq$" [/mm] sähe der "Rahmen" des zu leistenden Beweises dann so aus:
"Sei [mm] $x\in (\overline {\limes} A_{n})\backslash\,(\underline {\limes} A_{n})$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x\in\overline {\limes}( A_{n} \vartriangle A_{n+1})$.
[/mm]
Zu zeigen ist also nach Definition des Limes superior, dass für jedes [mm] $m\in\IN$ [/mm] ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $k\ge [/mm] m$ und [mm] $x\in A_k\vartriangle A_{k+1}$ [/mm] existiert.
Sei also [mm] $m\in\IN$. [/mm] Gesucht ist ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $k\ge [/mm] m$ und [mm] $x\in A_k\vartriangle A_{k+1}$."
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 So 21.02.2016 | | Autor: | gfm |
Alles klar. Vielen Dank. LG gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 22.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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