Übertragungsfunktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:47 Di 10.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Ein Stromkreis, in welchem ein Bauteil mit ohmschen Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C in Reihe geschaltet sind, werde mit einer zeitlich veränderlichen Eingangsspannung e(t) betrieben. Es ist R, C > 0. Die Stromstärke i(t) löst dann für t [mm] \ge [/mm] 0 die Integralrechnung [mm] Ri(t)+\bruch{1}{C}\integral_{0}^{t}{i(t') dt'}=e(t) [/mm] zusammen mit der Vorgabe i(0)=0.
a) Wie lautet die zugehörige Übertragungsfunktion?
b) Berechnen Sie i im Fall, dass [mm] e(t)=-w\delta(t-t_{0}) [/mm] mit einer nicht-verschwindenden Konstanten w und einem späteren Zeitpunkt [mm] t_{0} [/mm] (d.h. [mm] t_{0} [/mm] >0) gilt.
Hinweise: Es gilt für eine Funktion f, die die Generalvoraussetzung erfüllt:
[mm] L[\integral_{0}^{t}{f(t') dt'}](s)=\bruch{1}{s}L[f(t)](s).
[/mm]
Da eine Integralgleichung vorliegt, kann es durchaus sein, dass die Stromstärke einen [mm] \delta [/mm] - Stoß enthält. |
Hi Leute,
ich komm bei der Aufgabe nicht klar:/ Mir fehlt dafür einfach das Verständnis.
Erstmal a)
Man führt eine Laplace-Trafo durch:
[mm] L[Ri(t)](s)+\bruch{1}{C}+L[\integral_{0}^{t}{i(t') dt'}](s)=L[e(t)](s)
[/mm]
Mit L[Ri(t)](s)=RI(s), E(s)=L[e(t)](s), L[i(t)](s)=I(s) und dem Hinweis:
[mm] RI(s)+\bruch{1}{C}+\bruch{1}{s}I(s)=E(s)
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Wie macht man denn jetzt weiter?
Gruß David
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:58 Di 10.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
da würde mich die Antwort auch interessieren.^^
Hab für die Übertragungsfunktion:
[mm] L[Ri(t)](s)+\bruch{1}{C}L[\integral_{0}^{t}{i(t') dt'}](s)=L[e(t)](s)
[/mm]
[mm] RI(s)+\bruch{1}{C*s}I(s)=E(s)
[/mm]
[mm] I(s)=E(s)(R+\bruch{1}{C*s})^{-1}
[/mm]
[mm] Uebertragungsfunktion=(R+\bruch{1}{C*s})^{-1}.
[/mm]
Aber was mach ich jetzt zu b)?
mfg,
Lentio
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo!
okay, ich habe jetzt mit L{e(t)}=L{-w* [mm] \delta(t-t_{0}) [/mm] }
[mm] E(s)=-w*e^{-t_{0}*s} [/mm]
I(s)= [mm] (R+\bruch{1}{C*s})^{-1}*(-w*e^{-t_{0}*s}).
[/mm]
Bekomme jetzt aber leider nicht mehr die Rücktransformation hin.
> mfg,
> Lentio
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo!
>
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> okay, ich habe jetzt mit L{e(t)}=L{-w* [mm]\delta(t-t_{0})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]E(s)=-w*e^{-t_{0}*s}[/mm]
>
> I(s)= [mm](R+\bruch{1}{C*s})^{-1}*(-w*e^{-t_{0}*s}).[/mm]
>
hallo,
betrachte [mm] (R+1/(Cs))^{-1} [/mm] als F(s) und betrachte den [mm] e^s [/mm] term als verschiebung im zeitbereich
> Bekomme jetzt aber leider nicht mehr die
> Rücktransformation hin.
>
> > mfg,
> > Lentio
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo und danke für die Antwort fencheltee.
Also
[mm] I(s)=(R+(cs)^{-1})^{-1}(-we^{-st_{0}})
[/mm]
[mm] =(\bruch{s}{Rs+c^{-1}})(-we^{-st_{0}})
[/mm]
[mm] =(\bruch{Rs}{(Rs+c^{-1})R})(-we^{-st_{0}})
[/mm]
[mm] =(\bruch{Rs+c^{-1}}{(Rs+c^{-1})R}-\bruch{c^{-1}}{(Rs+c^{-1})R})(-we^{-st_{0}})
[/mm]
[mm] =(\bruch{1}{R}-\bruch{c^{-1}}{R^2(s+(cR)^{-1}})(-we^{-st_{0}})
[/mm]
[mm] L^{-1}[I(s)]=L^{-1}[(\bruch{1}{R}-\bruch{c^{-1}}{R^2(s+(cR)^{-1}})(-we^{-st_{0}})]
[/mm]
[mm] i(t)=-w*u_{t_{0}}(t)[R^{-1}\delta(t)-(cR)^{-1}e^{-(Rc)^{-1}}] [/mm] vielleicht?
mfg,
lentio
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> Hallo und danke für die Antwort fencheltee.
>
> Also
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> [mm]I(s)=(R+(cs)^{-1})^{-1}(-we^{-st_{0}})[/mm]
> [mm]=(\bruch{s}{Rs+c^{-1}})(-we^{-st_{0}})[/mm]
> [mm]=(\bruch{Rs}{(Rs+c^{-1})R})(-we^{-st_{0}})[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{Rs+c^{-1}}{(Rs+c^{-1})R}-\bruch{c^{-1}}{(Rs+c^{-1})R})(-we^{-st_{0}})[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{1}{R}-\bruch{c^{-1}}{R^2(s+(cR)^{-1}})(-we^{-st_{0}})[/mm]
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> [mm]L^{-1}[I(s)]=L^{-1}[(\bruch{1}{R}-\bruch{c^{-1}}{R^2(s+(cR)^{-1}})(-we^{-st_{0}})][/mm]
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> [mm]i(t)=-w*u_{t_{0}}(t)[R^{-1}\delta(t)-(cR)^{-1}e^{-(Rc)^{-1}}][/mm]
> vielleicht?
>
> mfg,
> lentio
hallo,
das sieht fast ok aus:
[mm] u_t [/mm] gibt es ja nicht wirklich, da w für den wert steht.
zusätzlich fehlt bei der e-funktion ein "t" im exponenten,
sowie ein [mm] R^2 [/mm] im nenner vor der e-funktion.
und am ende fehlt die verschiebung durch den [mm] exp(-st_o) [/mm] term, der dann eine verschiebung aller "t's" um [mm] t-t_0 [/mm] zur folge hat. was ja auch logisch ist, wenn ein dirac-impuls erst zur zeit [mm] t_0 [/mm] kommt, kann auch die antwort darauf frühestens zum zeitpunkt [mm] t_0 [/mm] kommen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:24 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo und danke!
Okay, also so :
[mm] i(t)=-w[R^{-1}\delta(t-t_{0})-(c)^{-1}R^{-2}e^{-(Rc)^{-1}}] [/mm] ?
mfg,
lentio
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> Hallo und danke!
>
> Okay, also so :
>
>
>
>
> [mm]i(t)=-w[R^{-1}\delta(t-t_{0})-(c)^{-1}R^{-2}e^{-(Rc)^{-1}}][/mm]
> ?
>
> mfg,
> lentio
hallo, es fehlt immer noch das t im exponenten (bzw [mm] t-t_0 [/mm] wegen der verschiebung)
gruß tee
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