Übersetzung Physik<-> Mathe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Do 07.09.2006 | | Autor: | Oliver |
Hallo zusammen,
in der Wikipedia wird unter dem Eintrag ![[]](/images/popup.gif) Kinetische Energie aus den Beziehungen $F=ma$ und $W=Fs$ folgendes Integral berechnet:
[mm]W=\int_0^s{F ds'}=\int_0^s{(ma) ds'}=m \int_0^s{\bruch{dv}{dt} ds'}=m \int_0^s{\bruch{dv}{ds}\bruch{ds}{dt} ds'}=m \int_0^s{\bruch{dv}{ds}v ds'}=m \int_0^v{v' dv'}=\bruch{1}{2}mv^2 [/mm]
Kann mir jemand diese Rechnung bitte in eine für Mathematiker verständliche Form überführen? Da kommen und gehen die Indizes ja gerade, wie man es braucht und dann werden die Ableitungen mal eben wie Brüche behandelt und entsprechend erweitert.
Gibt es eventuell gute Literatur, die einem diese Schreibweisen und Denkweisen etwas näher bringen?
Schonmal Danke im Voraus
Oliver
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Do 07.09.2006 | | Autor: | Palin |
Ok im Prinzi hängt es mit den einheiten zusammen.
F = Kraft = [mm] kg*m/s^2 (Kilogram*Meter/Sekunde^2)
[/mm]
s= Strecke = m
mit Fs = (am)*s (a Beschleunigung) (m Masse)
Die Beschleunigung ist nun die Änderung der Geschwindigkeit also
a= dv/dt
Im nächsten schrit wird dann mit 1 = ds/ds multipliziert und der Bruchumgestelt da ds/dt = v
Also aus
dv/dt * ds/ds = dv/ds * ds/dt = dv/ds * v
Integrieren über s und dann nochmal über v da ja auch da die Stecke drinsteck => 1/2 [mm] m*v^2
[/mm]
Ich hoffe mal das erhellt die Sache einwenig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:03 Do 07.09.2006 | | Autor: | Oliver |
Hallo Palin,
danke für die Antwort, aber einige Unklarheiten bestehen leider noch. Insbesondere habe ich als Mathematiker Bauchschmerzen "infinitesimale Erweiterungen" à la ds/ds=1 zu benutzen.
Ich versuche mal, die Einflussgrößen explizit darzustellen, vielleicht wird dann klar wo meine Probleme liegen:
Die Beschleunigung ist doch ein zeitabhängiger Vektor:
[mm] $\vec{a}(t)=\bruch{\delta \vec{v} (t)}{\delta t}=\bruch{\delta^2 \vec{s} (t)}{\delta^2 t}$
[/mm]
Die Kraft sollte in dieser Darstellung wie folgt definiert sein:
[mm] $\vec{F}(t)=m*\vec{a}(t)$
[/mm]
Wie kann ich in dieser Darstellung, den Wert der Kinetischen Energie formale korrekt - d.h. unter Beibehaltung aller Indizies und ohne das Kürzen infinitesimaler Größen - herleiten.
Unter Kinetischer Energie verstehe ich dabei die Energie die notwenig ist die Masse m aus dem Ruhezustand auf die Geschwindigkeit v zu beschleunigen.
Danke
Oliver
P.S. Vielleicht sollte ich den Artikel lieber ins Physik-Forum verschieben ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Do 07.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Hallo!
OK, ich versuchs mal bißchen mathematischer:
Wir nehmen nur an: F(x(t)) = m [mm] \bruch{d^2x(t)}{dt^2}
[/mm]
W = [mm] \int\limits_0^s [/mm] F(x) dx = [mm] \int\limits_0^t [/mm] F(x(t)) [mm] \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] dt = [mm] \int\limits_0^t [/mm] m [mm] \bruch{d^2x(t)}{dt^2} \bruch{dx(t)}{dt} [/mm] dt = m/2 [mm] \cdot \int\limits_0^t \bruch{d(\bruch{dx(t)}{dt})^2}{dt} [/mm] dt = m/2 [mm] \left(\bruch{dx(t)}{dt}\right)^2
[/mm]
Der erste Schritt entsteht durch Substitution.
Beim dritten nutze ich aus, dass [mm] \bruch{d \dot{x}^2}{dt} [/mm] = 2 [mm] \dot{x} \ddot{x} [/mm] ist
Über Kommentare würde ich mich freuen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 09.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Naja, das mit dem ds/ds=1 einfach einfügen ist evtl etwas unbefriedigend, wenn man denkt, daß das ja Differenzialoperatoren sind, und keine einfachen Variablen.
Ich hatte es mal hier genauer erklärt, wenn man das als Kettenregel betrachtet. Das läßt sich nach Belieben umstricken und führt daher auch zu sowas einfachem wie "ds/ds=1 einfügen"
|
|
|
| |
|
So sind sie, unsere Physiker! Diese Umformung kann man nur verstehen, wenn man schon verstanden hat, was man verstehen will ... äh hm ...
Das ganze Durcheinander rührt daher, daß in der Physik meist nicht zwischen abhängiger Variable und Funktion unterschieden wird. Sind wir da also einmal ausnahmsweise sorgfältig!
Eine Funktion [mm]f[/mm] ordnet einer unabhängigen Variablen [mm]x[/mm] eine abhängige Variable [mm]y[/mm] zu:
[mm]y = f(x)[/mm]
Wir unterscheiden also zwischen dem Zuordnungsprozeß [mm]f[/mm] und dem konkreten Ergebnis [mm]y[/mm] der Zuordnung bei der Eingabe [mm]x[/mm].
Jetzt zur Physik. Der Weg [mm]s[/mm] ist eine Funktion der Zeit [mm]t[/mm]:
[mm]s = \sigma(t)[/mm]
Zu einem konkreten Zeitpunkt [mm]t[/mm] befindet sich der Körper an der Wegmarke [mm]s[/mm]. Die Funktion [mm]\sigma[/mm] vermittelt diese Zuordnung.
Definitionsgemäß sind dann Geschwindigkeit [mm]v[/mm] und Beschleunigung [mm]a[/mm] zur Zeit [mm]t[/mm] erste bzw. zweite Ableitung von [mm]\sigma[/mm]:
[mm]s = \sigma(t)[/mm]
[mm]v = \varphi(t) = \dot{\sigma}(t)[/mm]
[mm]a = \alpha(t) = \dot{\varphi}(t) = \ddot{\sigma}(t)[/mm]
[mm]\varphi[/mm] bzw. [mm]\alpha[/mm] sind die Funktionen, die diese Zuordnungen bewerkstelligen. Nehmen wir nun an, daß der Körper sich zum Zeitpunkt [mm]t=0[/mm] bei der Wegmarke [mm]s=0[/mm] befindet und die Geschwindigkeit [mm]v=0[/mm] hat. Mit unseren Funktionen schreibt sich das so:
[mm]\sigma(0) = 0 , \ \varphi(0) = 0[/mm]
Nach einer gewissen Zeit [mm]t_0[/mm] befindet sich der Körper bei [mm]s_0[/mm] und hat die Geschwindigkeit [mm]v_0[/mm]:
[mm]\sigma \left( t_0 \right) = s_0 , \ \varphi \left( t_0 \right) = v_0[/mm]
Welche Arbeit [mm]W[/mm] wurde dabei verrichtet?
Jetzt kommt die Kraft [mm]F[/mm] ins Spiel. Bei der Wegmarke [mm]s[/mm] wirke die Kraft [mm]F[/mm]. Wieder eine Funktion! Nennen wir sie [mm]\Phi[/mm]:
[mm]F = \Phi(s)[/mm]
Andererseits ist ja [mm]s = \sigma(t)[/mm], so daß man [mm]F[/mm] auch als Funktion von [mm]t[/mm] betrachten kann:
[mm]F = \Phi \left( \sigma(t) \right) = \left( \Phi \circ \sigma \right) (t)[/mm]
Die Zuordnung [mm]t \mapsto F[/mm] ist also gerade die Verkettung [mm]\Phi \circ \sigma[/mm].
Nach Definition der Arbeit gilt nun:
[mm]W = \int_{s=0}^{s=s_0}~F~\mathrm{d}s = \int_{s=0}^{s=s_0}~\Phi(s)~\mathrm{d}s[/mm]
Und jetzt kommt's! Wir substituieren [mm]s = \sigma(t) , \ \mathrm{d}s = \dot{\sigma}(t) \, \mathrm{d}t[/mm]. Die zugehörigen [mm]t[/mm]-Grenzen sind nach Obigem [mm]t = 0[/mm] und [mm]t = t_0[/mm]. Die Substitutionsregel liefert:
[mm]W = \int_{t=0}^{t=t_0}~\Phi \left( \sigma(t) \right) \cdot \dot{\sigma}(t)~\mathrm{d}t = \int_{t=0}^{t=t_0}~\left( \Phi \circ \sigma \right)(t) \cdot \dot{\sigma}(t)~\mathrm{d}t[/mm]
Nach der Grundgleichung der Mechanik sind Kraft [mm]F[/mm] und Beschleunigung [mm]a[/mm] aber proportional:
[mm]F = m a[/mm]
Die Masse [mm]m[/mm] ist der konstante Proportionalitätsfaktor. Zum Zeitpunkt [mm]t[/mm] ist also einerseits
[mm]F = \left( \Phi \circ \sigma \right)(t)[/mm]
und andererseits
[mm]F = m \cdot \alpha(t) = m \cdot \ddot{\sigma}(t)[/mm]
Im obigen Integral geht es dann weiter:
[mm]W = \int_{t=0}^{t=t_0}~m \cdot \ddot{\sigma}(t) \cdot \dot{\sigma}(t)~\mathrm{d}t = m \int_{t=0}^{t=t_0}~\dot{\varphi}(t) \cdot \varphi(t)~\mathrm{d}t[/mm]
Die Substitution [mm]v = \varphi(t) , \ \mathrm{d}v = \dot{\varphi}(t) \, \mathrm{d}t[/mm] mit den neuen Grenzen [mm]v=0[/mm] und [mm]v=v_0[/mm] führt schließlich auf
[mm]W = \int_{v=0}^{v=v_0}~v~\mathrm{d}v = \frac{1}{2} \left[ v^2 \right]_{v=0}^{v=v_0} = \frac{1}{2} \, {v_0}^2[/mm]
So müßte man das wohl streng nach den Regeln der Mathematik rechnen. Da bekommt man langsam Verständnis für den kurzen Weg der Physiker, auch wenn da viel Pfusch im Spiel ist. Ich hoffe, ich konnte dir beim Verständnis der Sache behilflich sein.
|
|
|
|
