Überprüfung Aufgabe rekursive < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:22 Di 23.11.2010 | | Autor: | lurcker |
| Aufgabe | Bitte Bild aufrufen.
[Externes Bild http://s1.bild.me/bilder/311010/5845233auf18.jpg ] |
Folgende Aufgabe (Bild Einbinden geht nicht):
[IMG]http://s1.bild.me/bilder/311010/5845233auf18.jpg[/IMG]
Meine Lösung:
Erstmal zur (a): Beweis Beschränktheit durch v.I.:
I.A.: [mm] a_{0} ^2+\frac{1}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}, a_{0}\in \left[0,\frac{1}{2} \right]
[/mm]
I.V.: für ein [mm] n\in \mathbb [/mm] N [mm] gelte0\leq a_{n} \leq \frac{1}{2}
[/mm]
I.S.:
zu Zeigen:
[mm] (I):a_{n+1}\leq \frac{1}{2}
[/mm]
[mm] (II):a_{n+1}\geq [/mm] 0
zu (I): [mm] a_{0} ^2+\frac{1}{4} \leq \left(\frac{1}{2} \right)^2 +\frac{1}{4}
[/mm]
zu [mm] (II):a_{0} ^2+\frac{1}{4} \geq \left(0 \right)^2 +\frac{1}{4}
[/mm]
--> an beschränkt.
nach Satz von Bolzano-Weierstraß: an muss HP besitzen.
--> Beweis der Konvergenz durch Monotoniekriterium.
[mm] a_{n+1}- a_{n}= \frac{4a_{n} ^2+4a_{n}+1}{4}
[/mm]
Betrachte Zähler und führe quadratische Ergänzung aus:
[mm] a_{n+1}- a_{n}= \frac{\left(a_{n}-\frac{\sqrt{3}+2 }{4} \right)\cdot\left(a_{n}+\frac{\sqrt{3}+2 }{4} \right)}{4}
[/mm]
Alle Einzelglieder sind >0, somit ist die Folge konvergent.
Den Grenzwert habe ich auf a= [mm] \frac{1}{2}. [/mm] berechnet.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Aufgabe auch ![[]](/images/popup.gif) hier gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Do 25.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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