Überlagerung/Schwingungen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man betrachte folgende Überlagerung von zwei Schwingungen
[mm] s(t)=A*cos(w*t+p)=2*cos(w*t+p_1)+cos(w*t)
[/mm]
[mm] p_1=\pi/3 [/mm] und w=10
(a) Bestimmen Sie die Amplitude A und die Nullphase p.
(b) Für welche Werte [mm] p_1 [/mm] ist A maximal bzw. minimal?
|
guten morgen liebe mathematik-freunde!
(a) ich habe mal diverse formeln für cos und sin eingesetzt
[mm] A*cos(10*t+p)=2*cos(10*t+\pi/3 [/mm] )+cos(10*t)
[mm] A*(cos(10*t)*cos(p)-sin(10*t)*sin(p))=2*(cos(10*t)*cos(\pi/3 )-sin(10*t)*sin(\pi/3 [/mm] ))+cos(10*t)
jetzt div. ich die linke seite mit dem rechten teil dabei ist wichtig [mm] (cos(10*t)*cos(p)-sin(10*t)*sin(p))\not=0
[/mm]
[mm] \bruch{2*(cos(10*t)*cos(\pi/3 )-sin(10*t)*sin(\pi/3 ))+cos(10*t)
}{cos(10*t)*cos(p)-sin(10*t)*sin(p)}=A
[/mm]
[mm] cos(\pi/3)=1/2
[/mm]
[mm] sin(\pi/3)=\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] A=\bruch{2*cos(10*t)-\wurzel{3}*sin(10*t)}{cos(10*t)*cos(p)-sin(10*t)*sin(p)}
[/mm]
das folgende ergebnis hab ich mit mathcad berechnet d.h. ich weiß von der obigen zeile aus nicht mehr wie ich händisch weiter rechnen soll. und ich weiß auch nicht ob das alles richtig ist.
[mm] A=\bruch{\wurzel{3}}{sin(p)}
[/mm]
(b) sind diese Werte mit dieser bedingung zu ermitteln??? [mm] (cos(10*t)*cos(p)-sin(10*t)*sin(p))\not=0
[/mm]
vielen dank alle die sich zeit nehmen mir zu helfen!!!!!
danke
mfg
freezer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 So 22.10.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Freezer,
Deine Unformungen sind zwar algebraisch richtig, bringen Dich aber keinen Schritt weiter, wie Du ja wohl gemerkt hast, sonst wärst Du ja wohl kaum auf Mathcad umgestiegen.
Bei dieser Art von Aufgaben ist es eigentlich immer sinnvoll, die Terme rechts und links des Gleichheitszeichens als Sinus- und Kosinusterme darzustellen und dann einen Koeffizientenvergleich durchzuführen.
Mit Hilfe der Umformung für den Ausdruck der Summe zweier Cosinusschwingungen bekommst Du folgende Gleichung:
$$ A [mm] \cos [/mm] p [mm] \cos (\omega [/mm] t) - A [mm] \sin [/mm] p [mm] \sin (\omega [/mm] t) = [mm] \cos (\omega [/mm] t) [mm] \{ \cos (p_1) + 2 \cos^2 (\bruch{p_1}{2}) \} [/mm] - [mm] \sin (\omega [/mm] t) [mm] \{ \sin (p_1) + 2 \cos(\bruch{p_1}{2}) \sin(\bruch{p_1}{2}) \}
[/mm]
$$
Hieraus bekommst Du per Koeffizientenvergleich 2 Gleichungen:
$$ A [mm] \cos [/mm] p = [mm] \cos (p_1) [/mm] + 2 [mm] \cos^2(\bruch{p_1}{2}) [/mm] $$ und
$$ A [mm] \sin [/mm] p = [mm] \sin (p_1) [/mm] + 2 [mm] \cos (\bruch{p_1}{2} \sin (\bruch{p_1}{2}) [/mm] $$
Beide Gleichungen quadrieren und addieren liefert Dir den Ausdruck für die quadratische Amplitude, die zwite Gleichung durch die erste dividiert lässt die Amplitude verschwinden und man bekommt einen Bruch als Ausdruck für den Tangens des Nullphasenwinkels.
Die Amplitudengleichung ist abhängig vom Winkel [mm] p_1 [/mm] und mit Hilfe der Extremwertrechnung lässt sich der Minimalwert und der Maximalwert der Amplitude berechnen. Hierbei kannst Du auch vom Ausdruck des Amplitudenquadrats ausgehen, denn wo dort Extremwerte sind, hat auch dei Amplitude Extremwerte. Mein Tipp als Lösung sind 0 bzw. 180 Grad Phasenverschiebung, wie man an der rechten Seite Deiner Ausgangsgleichung recht gut ablesen kann.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
> Mit Hilfe der Umformung für den Ausdruck der Summe zweier
> Cosinusschwingungen bekommst Du folgende Gleichung:
> [mm][/mm] A [mm]\cos[/mm] p [mm]\cos (\omega[/mm] t) - A [mm]\sin[/mm] p [mm]\sin (\omega[/mm] t) = [mm]\cos (\omega[/mm]
> t) [mm]\{ \cos (p_1) + 2 \cos^2 (\bruch{p_1}{2}) \}[/mm] - [mm]\sin (\omega[/mm]
> t) [mm]\{ \sin (p_1) + 2 \cos(\bruch{p_1}{2}) \sin(\bruch{p_1}{2}) \}[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Hieraus bekommst Du per Koeffizientenvergleich 2
> Gleichungen:
> [mm]A \cos p = \cos (p_1) + 2 \cos^2(\bruch{p_1}{2})[/mm] und
> [mm]A \sin p = \sin (p_1) + 2 \cos (\bruch{p_1}{2} \sin (\bruch{p_1}{2})[/mm]
vielen dank für deine antwort
wie du aber die erste gl. kommst (durch umformung) versteh ich nicht ganz...
danke
mfg
freezer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 So 22.10.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Freezer,
ich hatte hier nur das Endergbnis angegeben, 2 - 3 Zeilen Rechnung sind davor schon noch nötig.
Die linke Seite der Rechnung ist wohl klar, hier wurde das Additionstheorem angewandt für die Summe von Argumentwerten. Auch Du hast damit in Deiner Rechnung ja angefangen.
Was ist nun mit der rechten Seite der Gleichung? Ich habe den ersten Summanden in
$$ 2 [mm] \cos (\omega [/mm] t + [mm] p_1) [/mm] + [mm] \cos (\omega [/mm] t) $$ in zwei Anteile zerlegt, um ein weiteres Additionstheorem anwenden zu können zur Summe trigonometrisher Funktionen. Zunächst steht da erstmal
$$ [mm] \cos (\omega [/mm] t + [mm] p_1) [/mm] + [mm] \cos (\omega [/mm] t + [mm] p_1) [/mm] + [mm] \cos (\omega [/mm] t) $$, die beiden letzten Terme kann man nun umformen nach der Formel
$$ [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] y = 2 [mm] \cos (\bruch{x+y}{2}) \cdot \cos (\bruch{x-y}{2}) [/mm] $$ und das führt nach Sortieren der Terme, die [mm] \cos (\omega t) [/mm] bzw. [mm] \sin (\omega t) [/mm] enthalten, auf die Gleichung, die ich angegeben habe.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
es ist mir ein wenig peinlich das zu fragen, aber konnte mir jemand bitte diese umformung komplett zeigen...ich mache anscheinen immer irgend einen fehler, dass ich auf kein ergebnis komme
danke
mfg
freezer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 22.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo freezer
Ich glaub infinit hat es etwas zu kompliziert gemacht.
Wenn du einfach die rechte Seite cos(wt+p1) auch nach dem Additionstheorem auflöst wrden die Gleichungen einfacher:
Du solltest bekommen :
coswt*(Acosp-2cosp1+1)+sinwt*(-Asinp+2sinp1)=0
jetzt müssen, die einzelnen Klammern 0 sein, daraus A und tanp. berechnen.
(Es gibt auch nen ganz anderen Weg. hast du schon mal was von Zeigeraddition gehört?)
Wenn du noch nicht zu Ende kommst. schreib DEINEN auch falschen Weg auf, dann hast du die Arbeit mit dem Formelnschreiben und nicht wir. Wir können dann die Fehler sagen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
VIELEN DANK leduart und infinit
@ leduart
coswt*(Acosp-2cosp1-1)+sinwt*(-Asinp+2sinp1)=0
auf diese gleichung kommm ich noch...jedoch mit -1 was ziemlich sicher stimmt, oder?
ok, ehrlich gesagt weiß ich nicht weiter...du schreibst die klammern müssen null sein...ich komm nicht drauf was du meinst...wenn das in der klammer 0 wäre dann wäre ja alles 0
hm...
danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo freezer
> VIELEN DANK leduart und infinit
>
> @ leduart
>
> coswt*(Acosp-2cosp1-1)+sinwt*(-Asinp+2sinp1)=0
> auf diese gleichung kommm ich noch...jedoch mit -1 was
> ziemlich sicher stimmt, oder?
Richtig, ich hatte mich verschrieben!
> ok, ehrlich gesagt weiß ich nicht weiter...du schreibst die
> klammern müssen null sein...ich komm nicht drauf was du
> meinst...wenn das in der klammer 0 wäre dann wäre ja alles
> 0
Das soll es ja auch sein, denn rechts steht ja 0! und das muss für ALLE Werte von t gelten. also auch für t=0 sinwt=0 [mm] coswt\ne0 [/mm] also 1. Klammer =0
unf für t mit coswt=0 [mm] sinwt\ne0 [/mm] 2. Klammer =0
Damit hast du 2 Gl. für die Bestimmung von A und p
Acosp=2cosp1+1
Asinp=-2sinp1
tanp=...
und [mm] A^2=(2cosp1+1)^2+(2sinp1)^2
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
hy
ich möchte es mit der zeigeraddition berechnen
1. es handelt sich um eine harmonische schwingung, die kreisfrequenz w (=omega) ist bei beiden gleich
2. realteil
[mm] s_1(t)=2*cos(w*t+\alpha)
[/mm]
[mm] s_2(t)=cos(w*t)
[/mm]
3. komplexe form (ich nenn den winkel ab jetzt alpha und nicht p (p stand übrigens für phi))
[mm] z_1(t)=2*cos(w*t+\alpha)+i*2*sin((w*t+\alpha)
[/mm]
[mm] z_2(t)=cos(w*t)+i*sin(w*t)
[/mm]
4.
[mm] A=\wurzel{u^2+v^2}
[/mm]
[mm] u=2*cos(w*t+\alpha)+cos(w*t)
[/mm]
[mm] v=i*2*sin((w*t+\alpha)+i*sin(w*t)
[/mm]
[mm] \alpha=\pi/3
[/mm]
t=0
[mm] u=2*cos(\pi/3)+cos(0)
[/mm]
[mm] v=2*sin(\pi/3)+sin(0)
[/mm]
u=2
[mm] v=\wurzel{3}
[/mm]
[mm] A=\wurzel{7}
[/mm]
stimmt das alles?
danke
mfg
freezer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo freezer
Ich find keinen Fehler
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
DANKE
eine frage häät ich noch:
bei den z(t) und den s(t) muss ich ken [mm] A_1 [/mm] bzw. [mm] A_2 [/mm] einbringen da in der geg. schwingung [mm] (2*cos((w*t)+\alpha)+cos(w*t)) [/mm] keins dabei ist oder?
ich frag nur da ich mich nur an ein paar gerechneten bsp. dich ich habe festhalten kann zb [mm] (A_1*cos(wt+\alpha_1)+A_2*cos(wt+\alpha_2)) [/mm] und da stehen bei den z(t) und s(t) die A´s dabei.
wie kann aus der jetztigen berechung weiter die nullphase [mm] \alpha [/mm] berechnen? (ein paar kollegen von mir haben spekuliert das dabei die ableitung benötigt wird wegen der steigung, und das dann diese abgeleitete gleichung null gesetzt wird)
[mm] A_1=\wurzel{(2*cos(\alpha)+1)^2+(2*sin(\alpha)}
[/mm]
das ableiten und [mm] \alpha [/mm] daruas berechnen?
ABER normal musste es auch ohne ableiten gehen, DENN das haben wir in den vorlesungen ja noch nicht gemacht...
[mm] tan(\alpha)=\bruch{imaginärteil von z_1(t)}{realteil von z_1(t)}
[/mm]
nur hab ich diese teile nich bzw nur als funktion von [mm] sin\alpha [/mm] und [mm] cos\alpha [/mm] (siehe [mm] z_1(t))
[/mm]
hast du da vl. eine idee?
VIELEN DANK
mfg
freezer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo freezer
1. Du hast doch Amplituden, A1=2 A2=1 das sind nicht nur Amplituden wenn sie A heissen!
Nur wenn man so was allgemein hinschreibt dann natürlich mit Buchstaben.
2. du kennst [mm] tan\phi [/mm] wenn [mm] \phi=0 [/mm] folgt tan=0 also imaginärteil = 0
Das mit der Amplitude zu differenzieren ist einfach blödsinn. Die Amplitude gibt doch den Maximalen Wert der Schwingung an, sie kann gar nichts aussagen über die Nullstellen der Funktion.
Die Nullphase ist aber eigentlich einfach der Winkel [mm] \phi [/mm] und nicht von z(t) abhängig.
War die Frage, wie man p1 wählen muss um die phase 0 rauszukriegen, oder willst du wissen was da für t=0 steht also cos(0+p) und das p mit deiner Schreibweise.
Wenn du nur das p ausrechnen willst hast du ja aus deinen Gleicungen tanp. aber da steht Nicht imz1(t)/rez1(t) denn p hängt ja nicht von t ab! sondern tanp=2sinp1/(2cosp1+1) und da du die rechte Seite ausrechnen kanns musst du dann nur den arctan davon nehmen. fertig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
danke
sollte ich wieder mal etwas fragen werde ich nie mehr so ein durcheinander mit den bezeichnungen aufführen, ich hab den winkel zuerst p dann [mm] \alpha [/mm] benannt und phi eigentlich immer gemeint, egal... 
ich weiß auch nicht was ich mir gedacht haben den winkel mit einer funktion nach t ausrechnen zu wollen...
was mach ich für einen aufstand wegen dem winkel.... tan(p)=G/A=v/u
DANKE ich hab das bsp endlich kapiert, endlich, das war eine schwere geburt...
DANKE DANKE DANKE
mfg
freezer
|
|
|
|
