Übergangsmatrix berechnen ? < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | Für 2 Städte A und B sind folgende Umzugswahrscheinlichkeiten ermittelt worden.
Stadt A: 4% ziehen nach B, 2% ziehen nach C, der Rest bleibt in A
Stadt B: 1% zieht nach A, 98% bleiben in B, 1% zieht nach C
Berechne die Einwohnerzahl nach 5 Jahren, falls von den Personen aus C niemand nach A oder B zieht.
Im Jahr 2010 wohnen12300 Personen in A und 8100 in B. |
Meine Ideen/Probleme:
Mein Problem besteht darin, auf die Ausgangsmatrix zu kommen, da ich nicht weiß, inwiefern ich C integrieren muss.
Meine Lösung für M als Ausgangsmatrix wäre dann:
[mm] \pmat{ 0,94 & 0,02 \\ 0,06 & 0,98 }
[/mm]
Ich habe in meiner Matrix den Übergang von A bzw B nach Außerhalb berechnet.
In der Lösung wird eine andere Matrix vorgeschlagen, nämlich:
[mm] \pmat{ 0,94 & 0,01 \\ 0,04 & 0,98 }
[/mm]
Ich kann die Lösung nicht ganz verstehen, weil doch der Übergang nach C gar nicht berücksichtigt wurde, denn um die veränderte Bewohnerzahl b berechnen zu können,muss man diese ja mit einschließen. Ich hab mir auch überlegt,dass man C mit einschließen sollte, weil man ja sonst gar nicht die ganze Bewohnerzahl in A oder B als Spaltenbezeichnung betrachtet, also würde keine stochastische Matrix vorliegen...
Kann mir jemand erklären, warum meine Matrix nicht richtig sein kann?
Danke an jeden, der mir helfen kann :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Deine Lösung stimmt leider nicht, weil du sozusagen $B$ und $C$ zu einer Stadt zusammengewürfelt hast, das kannst du nicht einfach machen.
Die vorgeschlagene Lösung ist aber auch nicht so schön, wenn nicht begründet wird, warum die Matrix so abgespeckt wurde.
Stellen wir mal die ganze Matrix auf. Diese hat die Form
[mm] P=\pmat{ A \rightarrow A & B \rightarrow A & C \rightarrow A \\ A \rightarrow B & B \rightarrow B & C \rightarrow B \\A \rightarrow C & B \rightarrow C & C \rightarrow C }
[/mm]
wobei $X [mm] \rightarrow [/mm] Y$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Bewohner von Stadt $X$ nach Stadt $Y$ zieht. Die Zahlen kannst du ja jetzt mal einfüllen, die hast du ja in der Aufgabe alle gegeben! Eine Spalte füll ich dir mal aus:
[mm] P=\pmat{ A \rightarrow A & B \rightarrow A & 0 \\ A \rightarrow B & B \rightarrow B & 0 \\A \rightarrow C & B \rightarrow C & 1 }
[/mm]
weil ja keiner aus der schönen Stadt $C$ zurückziehen möchte.
Nun kann man die Matrix $P$ zum oberen linke Block [mm] M=\pmat{ A \rightarrow A & B \rightarrow A \\ A \rightarrow B & B \rightarrow B} [/mm] "kürzen", denn wenn man Potenzen von $P$ berechnet, dann stellt man fest, dass sie die folgende Form haben:
[mm] $P=\pmat{ M & 0 \atop 0 \\ x\: y & 1 }$ [/mm] (das ist $P$ als sogenannte Blockmatrix geschrieben) [mm] \Rightarrow P^2=\pmat{ M^2 & 0 \atop 0 \\ x'\: y' & 1 }\Rightarrow \ldots \Rightarrow P^5=\pmat{ M^5 & 0 \atop 0 \\ x'''''\: y''''' & 1 }$. [/mm] Am Ende werden nur die ersten beiden Einträge von [mm] P^5*\vektor{12300 \\ 8100 \\ z} [/mm] benötigt, und dafür sind die letzte Zeile von [mm] P^5 [/mm] und die nullen rechts egal.
Wenn du so etwas noch nicht gemacht hast und dich da unsicher fühlst, dann stell einfach die "große" 3x3 Matrix $P$ auf und arbeite damit. Dann musst du nichts rumbegründen und das geht im Endeffekt wohl eh schneller.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Sa 22.11.2014 | | Autor: | Tabs2000 |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort :) Alles verstanden !
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