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| Aufgabe | | Zwei geradlinige Straßenstücke werden durch einen Übergangsbogen verbunden (Skizze). Damit die Straße möglichst glatt verläuft, soll der Übergangsbogen durch eine ganzrationale Funktion g vom Grad 3 so beschrieben werden, dass die zusammengesetzte Funktion f an den Nahtstellen 0 und 1 differenzierbar wird. Bestimme die Funktion g. |
Hallo,
die Funktion f soll an der Stelle 0 und 1 differenzierbar sein, dass klingt für mich nach Grenzwertverhalten.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0
[/mm]
Die Funktion g soll die Form haben [mm] g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Weiter habe ich leider überhaupt keine Ahnung. Könnt ihr mir einen Tip geben, wie ich anfangen soll?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Mathe-Andi,
> Zwei geradlinige Straßenstücke werden durch einen
> Übergangsbogen verbunden (Skizze). Damit die Straße
> möglichst glatt verläuft, soll der Übergangsbogen durch
> eine ganzrationale Funktion g vom Grad 3 so beschrieben
> werden, dass die zusammengesetzte Funktion f an den
> Nahtstellen 0 und 1 differenzierbar wird. Bestimme die
> Funktion g.
> Hallo,
>
> die Funktion f soll an der Stelle 0 und 1 differenzierbar
> sein, dass klingt für mich nach Grenzwertverhalten.
>
Nein, das ist kein Grenzwertverhalten.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0[/mm]
>
> Die Funktion g soll die Form haben [mm]g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
>
> Weiter habe ich leider überhaupt keine Ahnung. Könnt ihr
> mir einen Tip geben, wie ich anfangen soll?
>
Stelle zunächst die Bedingungen auf, die erfüllt sein müssen.
Die Bedingungen kannst Du z.B. dem Schaubild entnehmen.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Gruss
MathePower
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Ich glaube ich habs.  Ich hoffe jedenfalls, also habe ich die Aufgabe richtig gelöst? Mein Lösungsweg (mit besserer Skizze):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe eine Parabelgleichung aus vier Punkten aufgestellt, die ich der Skizze entnommen habe. (Darf ich hier einfach Punkte ablesen?)
[mm] P_{1}(1;1)
[/mm]
[mm] P_{2}(0;0)
[/mm]
[mm] P_{3}(0,5;0,5)
[/mm]
[mm] P_{4}(0,8;0,9)
[/mm]
Mit diesen Punkten habe ich ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen aufgestellt:
I. f(1)=a+b+c+d=1
II. f(0)=d=0
III. f(0,5)=0,125a+0,25b+0,5c+d=0,5
IV. f(0,8)=0,512a+0,64b+0,8c+d=0,9
Das aufgelöst ergibt folgende Funktionsgleichung:
[mm] g(x)=-2,083x^{3}+3,125x^{2}-0,0416x
[/mm]
Im Intervall 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 erfüllt diese Gleichung g(x) "ihren Zweck".
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo
die Punkte (0;0) und (1;1) hast du, weiterhin benötigst du f'(0)=f'(1)=0
Steffi
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Ist meine Lösung nicht richtig? Oder ist es kein schöner Lösungsweg?
Mit deiner Antwort weiß ich leider nichts anzufangen. Zwei Punkte, und Steigung m=0 bei x=0 und x=1. Wie bilde ich daraus eine Funktion 3. Grades?
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Hallo Mathe-Andi,
> Ist meine Lösung nicht richtig? Oder ist es kein schöner
> Lösungsweg?
>
> Mit deiner Antwort weiß ich leider nichts anzufangen. Zwei
> Punkte, und Steigung m=0 bei x=0 und x=1. Wie bilde ich
> daraus eine Funktion 3. Grades?
>
In dem Du das Gleichungssystem
[mm]f\left(0\right)=0[/mm]
[mm]f'\left(0\right)=0[/mm]
[mm]f\left(1\right)=1[/mm]
[mm]f'\left(1\right)=0[/mm]
löst.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ich sehe schon, das ist wesentlich einfacher. Für zukünftige Aufgaben weiß ich es nun besser. Danke für Eure Hilfe!
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