Übergang Fourier <-> Laplace < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Do 31.05.2012 | | Autor: | kappen |
Hi Leute,
ich habe ein paar Fragen zur Laplace bzw Fourier Transformation und zu dem Übergang zwischen den beiden Trafos. Insbesondere im Bereich der Signaltheorie (Übertragungsfunktionen z.B.).
Häufig wird in der Etechnik ja mit der Laplace Trafo gearbeitet, als Erweiterung der Fouriertransformation auf sich auch in der Amplitude verändernden Schwingungen. Dadurch können auch Einschwing- oder Ausgleichsvorgänge dargestellt werden, da für eine größere Menge an Funktionen das Transformationsintegral konvergiert. Richtig so?
Die Fourier Trafo ist quasi die Auswertung der Laplace Trafo nur auf der imaginären Achse. Damit können nur stationäre Schwingungen dargestellt werden, das wird z.B. in der komplexen Wechselstromrechnung (ersten paar Semester) verwendet. Dadurch konvergiert das Integral auch für weniger Funktionen. Es wird auch klar, dass z.B. ein Sinus nur in einen Dirac Impuls transformiert werden kann, da der Sinus nur eine Frequenz hat. Da die Transformationen aber auf kleine Frequenzintervalle bezogen ist, entsteht ein Dirac Impuls.
Jetzt die erste Frage:
Wie kann ich mir den Sinus als laplace Transformierte vorstellen?
Zweite Frage:
Ich kann ja in [mm] $\mathcal{L}(sin(\omega_0*t))= \frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$ [/mm] für [mm] $s=\sigma+j\omega$ [/mm] das Sigma zu 0 setze, nur entspricht das ja definitiv nicht den Dirac Impulsen ;)
Wann also kann ich den Übergang von Laplace -> Fourier vollziehen? Nur, wenn das Fourier Integral existiert? Genau das weiß ich ja unter Umständen nicht. Angenommen ich habe eine Übertragungsfunktion G(s), deren Eingangssignal der oben angenommene Sinus ist. Darf man da das s einfach durch [mm] $j\omega$ [/mm] ersetzen? Wohl kaum.. Und was ist, wenn das System nicht stabil ist? Was ist mit dem Frequenzgang eines instabilen Systems (der laut Lunze existiert)? Wieso darf ich da s->jw setzen?
Dritte Frage:
Wieso entsteht der Frequenzgang durch s->jw? Welche Mathematik wird da zu Grunde gelegt? Ist das "Eingangssignal" dann [mm] $e^{j\omega}$ [/mm] oder ein transformiertes [mm] $sin(\omega_0 [/mm] t)$? Denn die E-Funktion im Bildbereich ist ein um Omega verschobener Dirac im Zeitbereich. Anders herum ist der Sinus eine Summe von um Omega0 verschobenen Diracs im Bildbereich. Ersteres kommt eher hin, aber bestimmt man nicht den Frequenzgang experimentell, indem man eine Schwingung an das System anlegt und die Frequenz durchsweept? Also eher der Sinus im Zeitbereich.
Vorgeschichte zur vierten Frage:
Im Lunze (Regelungstechnik 1) geht es darum, dass nur der Frequenzgang (Fourier trafo) ausreicht, um auf die Übertragungsfunktion (Laplace) zu schließen (Seite 290, 7. Auflage) (ich zitiere nur sinngemäß):
"Die Möglichkeit, an Stelle von G(s) nur G(jw) zu betrachten und folglich vom Verlauf des Frequenzganges auf die Übertragungsfunktion zu schließen, kann man sich auf unterschiedliche Weise klar machen.
- ... Integralformel von Cauchy: G(s) ist regulär im geschlossenen Gebiet [mm] $\mathcal{G}$, [/mm] Integrationsweg vollständig im Gebiet, umschließt den Punkt [mm] $s_1$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $G(s_1)=\frac{1}{2\pi j}\oint \frac{G(s)}{s-s_1}ds$ [/mm]
Damit lassen sich die Funktionswerte [mm] $G(s_1)$ [/mm] aller im Gebiet liegenden Punkte berechnen.
Ist G(s) in der rechten komplexen Halbebene regulär, so kann aus dem Frequenzgang G(jw) und dem sprungfähigen Teil [mm] $lim_{|s|\rightarrow \infty}G(s)=d [/mm] die Übertragungsfunktion G(s) berechnet werden, wenn der Integrationsweg aus der imaginären Achse und einem Halbkreis mit sehr großem Radius in der rechten Halbebene besteht.
Ist das System nicht sprungfähig, so gilt [mm] $lim_{|s|\rightarrow\infty}G(s)=0$ [/mm] und folglich
[mm] $G(s_1)=\frac{1}{2\pi j}\oint \frac{G(j\omega)}{j\omega-s_1}ds=\frac{1}{2\pi}\int_\infty^\infty \frac{G(j\omega)}{j\omega-s_1}d\omega$ [/mm] für [mm] $Re(s_1)>0$.
[/mm]
Die Beziehungen zeigen, dass die Übertragungsfunktion G(s) aus dem Frequenzgang G(jw) berechnet werden kann, also der Frequenzgang sämtlich Informationen über ein gegebenes System enthält.
"
Dazu habe ich so einige Fragen :D
Regulär heißt holomorph.
Cauchy bzw den Residuensatz kenne ich. Aber wieso wird nur die rechte Halbebene betrachtet? Dann gilt die Umformung unten ja auch nur dafür. Holomorph bedeutet ja durchaus, dass Pole existieren dürfen, Pole in der rechten Halbebene bedeuten aber auch wieder ein instabiles System.
Der sprungfähige Anteil ist der Durchgriff ok. Aber der wird dann auch direkt wieder zu 0 gesetzt. Wie sähe das denn mit Durchgriff aus (Zähler=Nennergrad..)?
Ich verstehe die Integration nicht. Erst wird G(s) durch G(jw) ersetzt. Hier wieder die Frage: Warum geht das, und vor allem warum im instabilen Fall? Dann wird das ds substituiert, ok.
Aber was will mir die Formel überhaupt sagen? Dass ich G(s1), wobei s1 in der rechten Halbebene liegt durch den Frequenzgang bestimmen kann.
Wieso enthält also der Frequenzgang alle relevanten Informationen? Was ist mit Einschwingvorgängen?
Ich habe schon viele Sachen gelesen und gehört, ich denke es fehlt nicht mehr viel zum Verständnis, das ganze Zeug muss nur mal einigermaßen sortiert werden.
Vielen vielen Dank im Voraus, hoffe der Artikel war nicht lang :)
Mfg,
kappen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Halo kappen,
da muss ich mich erst mal reindenken. Einen Tipp kann ich aber auf jeden Fall schon geben. Fourier- und Laplacetransformation sind unterschiedliche Transformationen und gehen normalerweise nicht einfach ineinander über. Das ist auch schon deswegen erkennbar, da die Fouriertransformation alle Zeiten von - Unendlich bis +Unendlich umfasst, wohingegen die Laplacetransformation nur für positive Zeiten definiert ist.
Morgen kann ich hoffentlich auf Deine Fragen etwas genauer eingehen, bei mir ist das mehr als 30 Jahre her und das Wissen ist doch schon etwas eingerostet.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo kappen,
ein paar Kommentare zu Deinen Fragen kann ich gerne geben, es fließt hier alles Mögliche aus der Funktionentheorie zusammen und ich gebe gerne zu, dass dies nicht so einfach aufdröselbar ist, wie man das gerne hätte.
Ich schreibe mal an die jeweiligen Stellen in Deinem Thread, dann muss ich nicht so vieles wiederholen, um den Bezug zu Deinem Artikel herzustellen.
Viele Grüße,
Infinit
> Hi Leute,
>
> ich habe ein paar Fragen zur Laplace bzw Fourier
> Transformation und zu dem Übergang zwischen den beiden
> Trafos. Insbesondere im Bereich der Signaltheorie
> (Übertragungsfunktionen z.B.).
>
> Häufig wird in der Etechnik ja mit der Laplace Trafo
> gearbeitet, als Erweiterung der Fouriertransformation auf
> sich auch in der Amplitude verändernden Schwingungen.
> Dadurch können auch Einschwing- oder Ausgleichsvorgänge
> dargestellt werden, da für eine größere Menge an
> Funktionen das Transformationsintegral konvergiert. Richtig
> so?
>
> Die Fourier Trafo ist quasi die Auswertung der Laplace
> Trafo nur auf der imaginären Achse. Damit können nur
> stationäre Schwingungen dargestellt werden, das wird z.B.
> in der komplexen Wechselstromrechnung (ersten paar
> Semester) verwendet. Dadurch konvergiert das Integral auch
> für weniger Funktionen. Es wird auch klar, dass z.B. ein
> Sinus nur in einen Dirac Impuls transformiert werden kann,
> da der Sinus nur eine Frequenz hat. Da die Transformationen
> aber auf kleine Frequenzintervalle bezogen ist, entsteht
> ein Dirac Impuls.
Diese Überlegung stimmt normalerweise nicht, da die Laplacetransformation erst für Zeitfunktionen mit t größer gleich 0 definiert ist. Viele Deiner berechtigten Zweifel scheinen daher zu kommen, dass Du versucht, einen direkten Übergang zwischen der Fouriertransformierten eines Zeitsignals und der Laplace-Transformierten eines Zeitsignals zu erzeugen, wobei Du dich wunderst, dass unterschiedliche mathematische Terme dabei auftauchen.Denke daran, dass die Zeitfunktionen meist nicht identisch sind.
>
> Jetzt die erste Frage:
> Wie kann ich mir den Sinus als laplace Transformierte
> vorstellen?
>
Ich kann es nicht, sondern ich nutze zum Rechnen die bekannte Laplace-Transformierte.
>
Zweite Frage:
> Ich kann ja in [mm]\mathcal{L}(sin(\omega_0*t))= \frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}[/mm]
> für [mm]s=\sigma+j\omega[/mm] das Sigma zu 0 setze, nur entspricht
> das ja definitiv nicht den Dirac Impulsen ;)
>
Da sind wir an so einem Punkt, Deine Zeitfunktionen sind unterschiedlich definiert. Für die Fouriertransformation gehst Du von einem unendlichen andauernden Sinus aus, bei der Laplacetransformation schaltest Du den Sinus erst bei t = 0 ein. Kein Wunder, dass die Ergebnisse unterschiedlich sind.
>
> Wann also kann ich den Übergang von Laplace -> Fourier
> vollziehen? Nur, wenn das Fourier Integral existiert? Genau
> das weiß ich ja unter Umständen nicht. Angenommen ich
> habe eine Übertragungsfunktion G(s), deren Eingangssignal
> der oben angenommene Sinus ist. Darf man da das s einfach
> durch [mm]j\omega[/mm] ersetzen? Wohl kaum.. Und was ist, wenn das
> System nicht stabil ist? Was ist mit dem Frequenzgang eines
> instabilen Systems (der laut Lunze existiert)? Wieso darf
> ich da s->jw setzen?
>
Es gibt keinen direkten Übergang, es sind zwei Sorten unterschiedlicher Transformationen, wobei die Fouriertransformation auf der Superposition von Sinus- und Kosinusschwingungen aufsetzt, wohingegen bei der Laplace-Transformation die Einhüllende solcher Schwingungen mit einer linearen e-Funktion ansteigt oder abfällt.
> Dritte Frage:
> Wieso entsteht der Frequenzgang durch s->jw? Welche
> Mathematik wird da zu Grunde gelegt? Ist das
> "Eingangssignal" dann [mm]e^{j\omega}[/mm] oder ein transformiertes
> [mm]sin(\omega_0 t)[/mm]? Denn die E-Funktion im Bildbereich ist ein
> um Omega verschobener Dirac im Zeitbereich. Anders herum
> ist der Sinus eine Summe von um Omega0 verschobenen Diracs
> im Bildbereich. Ersteres kommt eher hin, aber bestimmt man
> nicht den Frequenzgang experimentell, indem man eine
> Schwingung an das System anlegt und die Frequenz
> durchsweept? Also eher der Sinus im Zeitbereich.
>
Der Begriff des Frequenzgangs bezieht sich hier auf die Antwort eines Übertragungssystems beim Anlegen einer Sinusschwingung an den Eingang des Systems. Die Frequenz dieser Eingangsschwingung wird geändert (durchsweepen) und man kann auf diese Art und Weise den Frequenzgang aufnehmen.
> Vorgeschichte zur vierten Frage:
> Im Lunze (Regelungstechnik 1) geht es darum, dass nur der
> Frequenzgang (Fourier trafo) ausreicht, um auf die
> Übertragungsfunktion (Laplace) zu schließen (Seite 290,
> 7. Auflage) (ich zitiere nur sinngemäß):
>
> "Die Möglichkeit, an Stelle von G(s) nur G(jw) zu
> betrachten und folglich vom Verlauf des Frequenzganges auf
> die Übertragungsfunktion zu schließen, kann man sich auf
> unterschiedliche Weise klar machen.
>
> - ... Integralformel von Cauchy: G(s) ist regulär im
> geschlossenen Gebiet [mm]\mathcal{G}[/mm], Integrationsweg
> vollständig im Gebiet, umschließt den Punkt [mm]s_1[/mm]. Dann
> gilt:
>
> [mm]G(s_1)=\frac{1}{2\pi j}\oint \frac{G(s)}{s-s_1}ds[/mm]
> Damit lassen sich die Funktionswerte [mm]G(s_1)[/mm] aller im Gebiet
> liegenden Punkte berechnen.
> Ist G(s) in der rechten komplexen Halbebene regulär, so
> kann aus dem Frequenzgang G(jw) und dem sprungfähigen Teil
> [mm]$lim_{|s|\rightarrow \infty}G(s)=d[/mm] die
> Übertragungsfunktion G(s) berechnet werden, wenn der
> Integrationsweg aus der imaginären Achse und einem
> Halbkreis mit sehr großem Radius in der rechten Halbebene
> besteht.
> Ist das System nicht sprungfähig, so gilt
> [mm]lim_{|s|\rightarrow\infty}G(s)=0[/mm] und folglich
>
> [mm]G(s_1)=\frac{1}{2\pi j}\oint \frac{G(j\omega)}{j\omega-s_1}ds=\frac{1}{2\pi}\int_\infty^\infty \frac{G(j\omega)}{j\omega-s_1}d\omega[/mm]
> für [mm]Re(s_1)>0[/mm].
>
> Die Beziehungen zeigen, dass die Übertragungsfunktion G(s)
> aus dem Frequenzgang G(jw) berechnet werden kann, also der
> Frequenzgang sämtlich Informationen über ein gegebenes
> System enthält.
> "
>
Das ist auch aus meiner Sicht nicht so klar ausgedrückt, wie man es eventuell machen könnte. Mal schauen, was Du da an Fragen so hast.
> Dazu habe ich so einige Fragen :D
>
> Regulär heißt holomorph.
>
> Cauchy bzw den Residuensatz kenne ich. Aber wieso wird nur
> die rechte Halbebene betrachtet? Dann gilt die Umformung
> unten ja auch nur dafür. Holomorph bedeutet ja durchaus,
> dass Pole existieren dürfen, Pole in der rechten Halbebene
> bedeuten aber auch wieder ein instabiles System.
>
>
Mit der Betrachtung zu den Polstellen in der rechten s-Halbebene hast Du recht, darum geht es hier aber nicht, sondern es geht darum, ein G(s) zu bestimmen.
Bitte vergesse erst mal die Stabilitätskriterien aus der Regelungstechnik, diese sind zwar für die Regelungstechnik von Interesse, hier aber geht es erst mal um die Möglichkeit, die Laplacetransformierte an einer bestimmten Stelle in der s-Ebene zu bestimmen, mit [mm] s= \sigma + j \omega [/mm].
> Der sprungfähige Anteil ist der Durchgriff ok. Aber der
> wird dann auch direkt wieder zu 0 gesetzt. Wie sähe das
> denn mit Durchgriff aus (Zähler=Nennergrad..)?
>
Bei Zähler- gleich Nennergrad hättest Du in der Entwicklung Deiner Funktion in eine Laurentreihe einen konstanten Term. Der transformiert sich als [mm] \delta (t) [/mm] in den Zeitbereich zurück, die Betrachtung der Gleichung oben geht aber erst mal davon aus, dass so etwas nicht auftritt. Warum, das versuche ich, bei Deiner nächsten Frage zu erörtern.
> Ich verstehe die Integration nicht. Erst wird G(s) durch
> G(jw) ersetzt. Hier wieder die Frage: Warum geht das, und
> vor allem warum im instabilen Fall? Dann wird das ds
> substituiert, ok.
> Aber was will mir die Formel überhaupt sagen? Dass ich
> G(s1), wobei s1 in der rechten Halbebene liegt durch den
> Frequenzgang bestimmen kann.
>
Ja, genau darum geht es. Eigentlich müsstest Du ein geschlossenes Kurvenintegral bestimmen, dessen Kurve so liegt, dass sie den Pol umrundet. Jetzt kommt es darauf an, wie "elegant" dieser Pol umrundet wird. Dieser Pol liegt, aus welchen Gründen auch immer, in der rechten s-Halbebene, dort ist die Funktion regulär.
Den klassischen Kreis nimmt man hier nicht, sondern man integriert entlang der imaginären Achse in der s-Halbebene und hängt an diese Gerade einen Halbkreis dran, der so groß ist, dass er den Pol (den ich mal auf die reelle Achse gelegt habe) umfasst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Integral über die geschlossene Kurve setzt sich jetzt aus zwei Wegen zusammen, die ich mit W1 und W2 bezeichnet habe, der Zusammenhang ist, etwas symbolisch ausgedrückt:
[mm] \oint F(s) ds = \int_{-\Omega}^{\Omega} F(j \omega) d \omega + \int_{W2} F(s) \, ds [/mm]
Die Frequenz [mm] \Omega [/mm] kann man nun vergrößern und gegen Unendlich laufen lassen, wodurch dann Dein Integral von oben entsteht, das Integral über den immer größer werdenden Halbbogen müsste dann aber gegen Null streben. Das passiert genau dann, wenn mit [mm] R \rightarrow \infty [/mm] folgendes gilt:
[mm] \lim_{R \rightarrow \infty} |F(s)| = 0 [/mm]
Da mit wachsendem R auch s immer weiter ansteigt, lässt sich diese Voraussetzung bei einem gegebenen F(s) relativ einfach überprüfen durch eine Grenzwertbildung. Bei einer gebrochen rationalen Funktion in s ist dies immer efüllt, wenn die Anzahl der Pole größer als die Anzahl der Nullstellen ist.
> Wieso enthält also der Frequenzgang alle relevanten
> Informationen? Was ist mit Einschwingvorgängen?
>
Der Begriff "alle Informationen" ist wohl etwas übertrieben, aber es sollte wohl nur gezeigt werden, dass man die mit Hilfe der Übertragungsfunktion den Wert einer Laplace-Tranformierten bestimmen kann.
> Ich habe schon viele Sachen gelesen und gehört, ich denke
> es fehlt nicht mehr viel zum Verständnis, das ganze Zeug
> muss nur mal einigermaßen sortiert werden.
>
> Vielen vielen Dank im Voraus, hoffe der Artikel war nicht
> lang :)
>
> Mfg,
> kappen
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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