überbestimmtes LGS? < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Matrix.
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
2 -1 0 -1 = 2
-1 1 4 0 = 3 |
Ich habe Folgendes angewendet:
III - II
2x IV + I
III - 2x II
IV + II
I + II
Und bin jetzt hier gelandet:
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
0 0 0 0 = 0
0 0 8 0 = 9
also: c= [mm] \bruch{9}{8}
[/mm]
Jetzt habe ich allerdings nur noch die beiden oberen Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Die Lösung sieht aber keine Variable vor.
Es kommt heraus:
a= [mm] \bruch{9}{2}
[/mm]
b= 3
c= [mm] \bruch{9}{8}
[/mm]
d= 4
Wie komme ich denn nur dahin????
Danke!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Fr 07.10.2011 | | Autor: | chrisno |
Ich kann Deine Umformungsschritte nicht nachvollziehen. Es fehlt immer die Information, welche Zeile zum Beispiel durch den Ausdruck III - II ersetzt wird. Wenn das System eindeutig lösbar sein soll, und Du diese Zeile mit den Nullen da stehen hast, dann vermute ich mal, dass Du auf eine versteckte Art die Zeile IV von sich selbst abgezogen hast.
|
|
|
| |
|
mit III - II meine ich, dass ich die dritte Zeile verändert habe, indem ich die zweite davon abgezogen habe
eigentlich habe ich, hoffe ich zumindest, nicht dieselbe Zeile von sich selbst abgezogen; steht ja auch nicht in den Umformungsschritten
????
|
|
|
| |
|
> Lösen Sie folgende Matrix.
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 2 -1 0 -1 = 2
> -1 1 4 0 = 3
> Ich habe Folgendes angewendet:
> III - II
> 2x IV + I
> III - 2x II
> IV + II
> I + II
>
> Und bin jetzt hier gelandet:
>
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 0 0 0 0 = 0
> 0 0 8 0 = 9
>
> also: c= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> Jetzt habe ich allerdings nur noch die beiden oberen
> Gleichungen mit 3 Unbekannten.
> Die Lösung sieht aber keine Variable vor.
> Es kommt heraus:
> a= [mm]\bruch{9}{2}[/mm]
>
> b= 3
>
> c= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> d= 4
>
> Wie komme ich denn nur dahin????
Falls deine Unbekannten a, b, c, d heißen, so scheint die
Lösung c=9/8 richtig zu sein. Im Übrigen stecken aber in
deiner Lösung wohl Fehler. Die Werte der übrigen Unbekannten
a, b, d sind nicht eindeutig bestimmt.
Zwar bilden die angegebenen Zahlenwerte für a, b, c, d
ein mögliches Lösungsquadrupel, aber dieses ist nur eines
unter unendlich vielen möglichen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Dankeschön schon mal!
Hm. Ich dachte, dass nur homogene LGS unendlich viele Lösungen haben?
Und wie komme ich zu zumindest einer solchen Lösung unter den vielen?
Wenn ich weiter umforme komme ich irgendwann zu
-0,5 = -0,5
......
|
|
|
| |
|
> Dankeschön schon mal!
>
> Hm. Ich dachte, dass nur homogene LGS unendlich viele
> Lösungen haben?
Hallo,
da irrst Du Dich.
Schau dieses sehr kleine inhomogene GS an: 2x-y=5.
Es hat doch offenbar mehr als eine Lösung.
>
> Und wie komme ich zu zumindest einer solchen Lösung unter
> den vielen?
Du hattest die Zeilenstufenform (hab' ich nicht geprüft!)
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
0 0 8 0 = 9
0 0 0 0 = 0.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1., 2. und 3. Spalte. Dann kann man die 4. Variable frei wählen. Dh. man bekommt für jede beliebige Wahl von d eine Lösung des Gleichungssystems.
Wir haben
aus Zeile 3:
c=9/8,
aus Zeile 2:
b=-1+d,
aus Zeile 1:
a=2+1.5b-0.5d=2+1.5(-1+d)-0.5d=0.5+d.
Für jede Wahl von d bekommst Du nun eine Lösung.
Wählt man
d=0, so bekommt man
a=0.5, b=-1, c=9/8.
Wählt man wie in Deiner Lösung
d=4, so bekommt man
a=4.5, b=3, c=9/8.
Alle Lösungen haben die Gestalt
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d}=\vektor{0.5+d\\-1+d\\9/8\\d}=\vektor{0.5\\-1\\9/8\\0}+d*\vektor{1\\1\\0\\1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Wenn ich weiter umforme komme ich irgendwann zu
> -0,5 = -0,5
>
> ......
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Fr 07.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie folgende Matrix.
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 2 -1 0 -1 = 2
> -1 1 4 0 = 3
> Ich habe Folgendes angewendet:
> III - II
> 2x IV + I
> III - 2x II
> IV + II
> I + II
>
> Und bin jetzt hier gelandet:
>
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 0 0 0 0 = 0
> 0 0 8 0 = 9
>
> also: c= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> Jetzt habe ich allerdings nur noch die beiden oberen
> Gleichungen mit 3 Unbekannten.
> Die Lösung sieht aber keine Variable vor.
> Es kommt heraus:
> a= [mm]\bruch{9}{2}[/mm]
>
> b= 3
>
> c= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> d= 4
>
> Wie komme ich denn nur dahin????
>
> Danke!!
Hallo,
die angegebene Musterlösung passt in die Gleichungen 1, 2 und 4.
Sie passt selbstverständlich auch in Gleichung 3.
Ansonsten kann ich mich nur der genannten Kritik anschließen.
Du sagst:
> Ich habe Folgendes angewendet:
und zählst danach 5 Gleichungsoperationen auf.
Heraus kommen dann aber nur 4 neue Gleichungen?!?
Wenn du Hilfe willst, dann sei nicht so schreibfaul und gib Schritt für Schritt an, wie du aus dem gegebenen Gleichungssystem ein neues erhalten hast.
Weil wir einmal bei Kritik sind:
Das Gleichungssystem ist sicher nicht überbestimmt, im Moment sieht deine Lösung noch unterbestimmt aus.
Die Aufgabenstellung: "Lösen Sie folgende Matrix" ist auch unsinnig.
Eine Matrix kann man nicht "lösen".
Man kann nur einen Lösungsvektor ermitteln, der in eine vorgegebene Matrizenmultiplikation passt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Oh, tut mir leid. Stimmt, es ist unterbestimmt.
Hier sind dann alle Schritte:
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
2 -1 0 -1 = -1
2 -1 0 -1 = 2
-1 1 4 0 = 3
Gleichung III - Gleichung II
2x Gleichung IV + Gleichung I
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
0 2 0 -2 = -2
0 -1 8 1 = 10
Gleichung III - 2x Gleichung II
Gleichung IV + Gleichung II
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
0 0 0 0 = 0
0 0 8 0 = 9
c= [mm] \bruch{9}{8}
[/mm]
:)
|
|
|
| |
|
Sorry, das oberste muss so aussehen:
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
2 -1 0 -1 = 2
-1 1 4 0 = 3
Und dann der Rest wie oben:
Gleichung III - Gleichung II
2x Gleichung IV + Gleichung I
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
0 2 0 -2 = -2
0 -1 8 1 = 10
Gleichung III - 2x Gleichung II
Gleichung IV + Gleichung II
2 -3 0 1 = 4
0 1 0 -1 = -1
0 0 0 0 = 0
0 0 8 0 = 9
c= $ [mm] \bruch{9}{8} [/mm] $
:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Sa 08.10.2011 | | Autor: | chrisno |
> Sorry, das oberste muss so aussehen:
>
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 2 -1 0 -1 = 2
> -1 1 4 0 = 3
>
> Und dann der Rest wie oben:
>
> Gleichung III - Gleichung II
?
> 2x Gleichung IV + Gleichung I
>
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
0 2 0 -2 = -2
> 0 -1 8 1 = 10
das verstehe ich nicht.
>
> Gleichung III - 2x Gleichung II
> Gleichung IV + Gleichung II
>
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 0 0 0 0 = 0
> 0 0 8 0 = 9
>
> c= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> :)
|
|
|
| |
|
> Lösen Sie folgende Matrix.
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 2 -1 0 -1 = 2
> -1 1 4 0 = 3
> Ich habe Folgendes angewendet:
> III - II
> 2x IV + I
> III - 2x II
> IV + II
> I + II
mit diesen rechenschritten kommst du doch nie auf diese matrix ?!
>
> Und bin jetzt hier gelandet:
>
> 2 -3 0 1 = 4
> 0 1 0 -1 = -1
> 0 0 0 0 = 0
> 0 0 8 0 = 9
>
> also: c= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> Jetzt habe ich allerdings nur noch die beiden oberen
> Gleichungen mit 3 Unbekannten.
> Die Lösung sieht aber keine Variable vor.
> Es kommt heraus:
> a= [mm]\bruch{9}{2}[/mm]
>
> b= 3
>
> c= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> d= 4
>
> Wie komme ich denn nur dahin????
wahrscheinlich wurden sie "frei" gewählt
>
> Danke!!
LG Scherzkrapferl
|
|
|
|
