überbestimmtes LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Do 10.01.2008 | | Autor: | Julez |
Holla,
ich muss mich gezwungener Maßen gerade mit überbestimmten Gleichungssystemen auseinander setzen. Ich habe hierfür Matrizen in Matlab vorliegen. Diese möchte ich nach folgendem System auflösen: y=A*x ... hierbei ist y und A gegeben und ich möchte den Lösungsvektor x ermitteln [mm] (x=A\y)...da [/mm] A die Größe A=(2m+1)x(m+1)...sie ist also nicht quadratisch, also nicht 100% lösbar.
1.Frage: Da ich mich mit der Materie null auskenne, wäre meine erste Frage schonmal warum ein solches Gleichunssystem zu 100% lösbar ist, wenn A eine quadratische Matrix ist?!
2.Frage: Ich habe gelesen das man solche Gleichungen über verschiedene Algorithmen lösen kann. Welche Verfahren gibt es und welche Vor- und Nachteile haben diese.
3.Frage: Ich habe gelesen das man es zb. über eine so genannte Normalengleichung lösen kann. Stimmt das und wenn ja wie funktionierts?
4. Wie gesagt ich kenne mich mit Matrix-Rechnungen und überbestimmten LGS nicht sonderlich gut aus, also wenn ihr mir einfach ein gutes Buch zu dem Thema vorschlagen könntet würde mir das schon weiterhelfen!
Besten Dank:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Fr 11.01.2008 | | Autor: | koepper |
Holla Julez,
ein überbestimmtes LGS hat im "Normalfall" gar keine Lösung, weil "zu viele" Restriktionen vorhanden sind.
Es kann allerdings dann eine oder sogar unendlich viele Lösungen haben, wenn Restriktionen "überflüssig" sind.
Jetzt etwas mathematischer:
Restriktionen sind "überflüssig", wenn sie Linearkombinationen anderer sind. Im Gauss-Algorithmus würde aus ihnen jeweils eine Nullzeile werden. Der Gauss-Algorithmus ist es auch, der für jedes LGS - sofern lösbar - eine Lösung liefern kann.
Wenn ein überbestimmtes System allerdings nicht lösbar ist, dann kann man immer noch eine Näherungslösung suchen, die die Restriktionen in gewisser Weise am wenigsten verletzt. Dazu dient das Gauss-Seidel Verfahren. Bei sehr großen Problemen, in denen Zwischenergebnisse gerundet werden müssen, leidet der auch nicht an den numerischen Instabilitäten des Gauss-Verfahrens, weil er iterativ läuft.
Zu diesem Verfahren findest du sicher jede Menge im Netz.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Di 15.01.2008 | | Autor: | Julez |
Hallo Will,
danke für deine Antwort, leider bin ich wie gesagt nicht so im Thema drinn, deswegen weiss ich leider nicht mal wovon du sprichst wenn du zb von Restriktionen sprichst:) Auch Linearkombinationen sind mir fremd, wobei ich mich hier versucht habe etwas einzulesen, leider aber nicht mit sonderlich viel Erfolg. Folgendes habe ich dazu gefunden: Lineare Unabhängigkeit, Linearkombination
Die Vektoren x1, x2, x3, ... , xm werden linear unabhängig genannt, wenn ihre so genannte Linearkombination
y=c1*x1+c2*x2+c2*x3+...+cn*xn
nur für c1 = c2 = c3 = ... = cm = 0 den Nullvektor y = o ergibt (alle Komponenten eines Nullvektors sind gleich Null), sonst linear abhängig.
Was das in Bezug auf überbestimmete LGS bedeuten soll is mir leider nach wie vor schleierhaft.
Naja ich habe mir jetzt das Buch "Numerik linearer Gleichungssysteme by Meister, Andreas" bestellt und hoffe das das eine gute Wahl war:)
MfG
Julez
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 15.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Julez,
> danke für deine Antwort, leider bin ich wie gesagt nicht
> so im Thema drinn, deswegen weiss ich leider nicht mal
> wovon du sprichst wenn du zb von Restriktionen sprichst:)
sorry, ich versuchs mal mehr auf Deutsch 
Restriktionen sind einfach die Gleichungen des Systems.
Ich hatte das Wort "Restriktionen" benutzt, um damit zu betonen, daß jede Gleichung ja idR die Lösungsmenge weiter einschränkt.
> Auch Linearkombinationen sind mir fremd, wobei ich mich
> hier versucht habe etwas einzulesen, leider aber nicht mit
> sonderlich viel Erfolg.
Eine Linearkombination ist hier schlicht die Summe verschiedener Gleichungen (wobei jede zuvor auch noch mit einem Faktor multipliziert werden darf)
> Was das in Bezug auf überbestimmete LGS bedeuten soll is
> mir leider nach wie vor schleierhaft.
Wenn eine Gleichung schon durch Linearkombination aus anderen erzeugt werden kann, dann ist sie "überflüssig".
Sie kann also aus dem LGS entfernt werden, ohne dabei die Lösungsmenge zu verändern.
> Naja ich habe mir jetzt das Buch "Numerik linearer
> Gleichungssysteme by Meister, Andreas" bestellt und hoffe
> das das eine gute Wahl war:)
ui, das ist sicher eine gute (allerdings auch recht ehrgeizige!) Wahl
Also mal im Ernst: Die Inhalte bei Meister gehen extrem weit und in die Tiefe der Zusammenhänge.
Ich würde niemandem raten, es zu lesen ohne sehr solide Grundkenntnisse in linearer Algebra und Analysis.
Das Buch ist im Definition-Satz-Beweis-Stil geschrieben. Anschauliche Erklärungen sind dort entbehrlicher Luxus.
Ich glaube nicht, daß es dir wirklich helfen wird. Schau besser mal unter ![[]](/images/popup.gif) http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/ im Kurs "Numerik"
LG
Will
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