Überabzählbarkeit von R < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:33 So 19.10.2008 | | Autor: | bamm |
| Aufgabe | | Modifizieren Sie den Beweis, dass dieser nicht auf das Intervall [0, 1[ beschränkt ist, sondern direkt mit R argumentiert |
Hallo,
ich habe hier ein Problem mit dem Beweis, dass R überabzählbar ist. Unser Beweis war im Prinzip Cantors zweites Diagonalargument, hat also auf dem Intervall 0,1 agiert und es wurden nur Zahlen zwischen 0 und 1 "aufgelistet" und durchnummeriert (bei unserem Beweis hat man immer 0 durch 1 und 1 durch 0 in der neuen, zu konstruierenden Zahl gesetzt und damit einen Widerspruch erzeugt). Am Ende wurde eben argumentiert, dass wenn ein Teilintervall nicht abzählbar ist, dass dann auch ganz [mm]\IR[/mm] nicht abzählbar ist. Nun soll der Beweis wie oben beschrieben modifiziert werden. Aber ehrlich gesagt hab ich keine Idee bzw. teilweise verstehe ich nicht wie ich das angehen soll. Zuerst hatte ich eine Idee mit zuerst an jede Zahl eine 0, vorne dranhängen und dann analog zum vorherigen Beweis argumentieren, aber so klappt das wohl nicht. Auch andere Ideen haben mich nicht so überzeugt, eine Idee war z.B. eine Funktion (bijektiv?), die alle Zahlen in R auf das Intervall 0,1 abbildet. Hat vlt. jemand für mich einen Hinweis o.ä.?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 So 19.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Was spricht denn gegen die Idee mit der Bijektion [mm] $\IR\to[0,1]$? [/mm] Ich finde das sehr elegant.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 So 19.10.2008 | | Autor: | bamm |
Hallo,
mein Problem war/ist so eine Bijektion zu finden, dieses Themengebiet ist noch relativ neu für mich. Ich müsste ja sozusagen eine Funktion finden, die jede Zahl aus R eindeutig auf das Intervall [mm][0,1][/mm] abbildet (bzw. [0,1[ ). Ich zweifle so langsam daran ob man wirklich so "kompliziert" für eine Lösung denken muss und nicht evtl. ein anderer Lösungsansatz besser wäre (Diagonilisierungsverfahren abändern, so dass man versuchen würde alle Zahlen in R aufzulisten?).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 19.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo,
> mein Problem war/ist so eine Bijektion zu finden, dieses
> Themengebiet ist noch relativ neu für mich. Ich müsste ja
> sozusagen eine Funktion finden, die jede Zahl aus R
> eindeutig auf das Intervall [mm][0,1][/mm] abbildet (bzw. [0,1[ ).
> Ich zweifle so langsam daran ob man wirklich so
> "kompliziert" für eine Lösung denken muss und nicht evtl.
> ein anderer Lösungsansatz besser wäre
Naja was heißt kompliziert, das ist eigentlich ein sehr natürliches Argument wenn man sich etwas damit beschäftigt. Man hat z.B. die Bijektionen [mm] $$f:\IR\ni x\mapsto \frac{x}{1+|x|}\in(0,1)$$ [/mm] oder [mm] $$\arctan: \IR\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ [/mm] was man dann noch geeignet skalieren müsste. Zumindest hast du sowas jetzt mal gesehen.
> (Diagonilisierungsverfahren abändern, so dass man versuchen
> würde alle Zahlen in R aufzulisten?).
Das könnte man auch versuchen. So spontan fällt mir da sowas in der Art ein: Jedes [mm]x\in\IR[/mm] lässt sich eindeutig schreiben als [mm] $$x=\sum_{k\in\IZ}x_k2^k$ [/mm] mit [mm] $x_k\in\{0,1\}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IZ$$ [/mm] und dann schreibst du in die entsprechende Zeile beim Cantor-verfahren [mm] $x_0,x_1,x_{-1},x_2,x_{-2}...$. [/mm] Das müsste eigentlich auch funktionieren.
Edit: Du musst dann nur aufpassen, dass du bei der Konstruktion deiner neuen Zahl z jetzt nicht einfach diagonal durchgehen kannst, da diese Zahl dann unendlich groß werden würde. Du müsstest also immer z.B. eins runter und zwei nach rechts.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:43 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
meine persönliche Lieblingsbijektion (in diesem Zusammenhang hier) ist eine (streng monotone, stetige und auch zum Punkt $(1/2,0)$ punktsymmetrische) Funktion $f: (0,1) [mm] \to \IR$, [/mm] die die Eigenschaften hat:
$f(0,5)=0$, [mm] $\lim_{x \to 1}=\infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to 0}=-\infty$.
[/mm]
Wenn man so eine Funktion sucht, kommt man eigentlich relativ schnell auf den Gedanken:
[mm] $$f(x)=\frac{x-0,5}{x*(1-x)}\text{ mit } [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1)$$
zu betrachten.
Natürlich ist das nicht die einzige dieser Art:
[mm] $$g(x)=\frac{x-0,5}{x^3*(1-x)^3}$$ [/mm]
(auf $(0,1)$) tät's z.B. auch...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Do 23.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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