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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Di 07.12.2010 | | Autor: | BennX |
| Aufgabe | a) Sei M eine Menge und [mm] f:M\to \mathcal{P}(M) [/mm] eine Abbildung. Zeige, dass f nicht surjektiv ist.
Hinweis: [mm] M_{0}:={x\in M; x\not\in f(x)}
[/mm]
b) Zeige, dass [mm] \mathcal{P} (\IN) [/mm] Überabzählbar ist.
c) Zeige: die Menge aller endlicher Teilmengen von [mm] \IN [/mm] ist abzählbar. |
hallo Liebes Forum
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.(Mein fehler hatte den falschen Text kopiert)
Zur a) habe ich mir gedacht da in jeder Potenzmenge auch das Leere Element enthalten ist ist damit doch eigentlich schon wiederlegt das [mm] f:M\to \mathcal{P}(M) [/mm] surjektiv ist. da [mm] \emptyset \in \mathcal{P}(M)
[/mm]
Bei der b)
ich hänge hier irgendwie gedanktlich noch in der Luft. Ich finde gerade nicht den richtigen Ansatz um zu zeigen das es nicht abzählbar ist. Wobei keine bijektive abbildung von [mm] \mathcal{P}(M)\to \IN [/mm] erstellt werden kann da [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] mächtiger ist. Zeigt dies auch schon das es überabzählbar ist?
c) hier habe ich dementsprechend das gleiche Problem. wobei [mm] \mathcal{P}(M):={L;L\subseteq M}. [/mm]
Ich danke für die antworten.
ben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> a) Sei M eine Menge und [mm]f:M\to \mathcal{P}(M)[/mm] eine
> Abbildung. Zeige, dass f nicht surjektiv ist.
> Hinweis: [mm]M_{0}:={x\in M; x\not\in f(x)}[/mm]
> b) Zeige, dass
> [mm]\mathcal{P} (\IN)[/mm] Überabzählbar ist.
> c) Zeige: die Menge aller endlicher Teilmengen von [mm]\IN[/mm] ist
> abzählbar.
>
>
> hallo Liebes Forum
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.(Mein fehler hatte den falschen
> Text kopiert)
>
> Zur a) habe ich mir gedacht da in jeder Potenzmenge auch
> das Leere Element enthalten ist ist damit doch eigentlich
> schon wiederlegt das [mm]f:M\to \mathcal{P}(M)[/mm] surjektiv ist.
> da [mm]\emptyset \in \mathcal{P}(M)[/mm]
nein, das ist Quatsch ! Annahme: f ist surjetiv. Sei [mm] M_0 [/mm] wie im Hinweis. Dann gibt es ein [mm] x_0 \in [/mm] M mit: [mm] f(x_0)=M_0
[/mm]
Nun gibt es 2 Möglichkeiten:
Fall 1: [mm] x_0 \in M_0
[/mm]
Fall 2: [mm] x_0 \notin M_0.
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, das keiner der beiden obigen Fälle eintreten kann, hast Du einen Widerspruch.
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> Bei der b)
> ich hänge hier irgendwie gedanktlich noch in der Luft.
> Ich finde gerade nicht den richtigen Ansatz um zu zeigen
> das es nicht abzählbar ist. Wobei keine bijektive
> abbildung von [mm]\mathcal{P}(M)\to \IN[/mm] erstellt werden kann da
> [mm]\mathcal{P}(M)[/mm] mächtiger ist. Zeigt dies auch schon das es
> überabzählbar ist?
Nimm doch an $ [mm] \mathcal{P} (\IN) [/mm] $ wäre abzählbar Dann gibt es eine Bijektion f: [mm] \IN \to [/mm] $ [mm] \mathcal{P} (\IN) [/mm] $
Was sagt a) dazu ?
>
> c) hier habe ich dementsprechend das gleiche Problem. wobei
> [mm]\mathcal{P}(M):={L;L\subseteq M}.[/mm]
Denk mal nach.
FRED
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> Ich danke für die antworten.
> ben
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