(Über-)Abzählbarkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Huhu,
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Eine Menge A heißt ja abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit wie [mm] \IN [/mm] hat, also auch eine Bijektion zwischen A und [mm] \IN [/mm] vorliegt; die Menge A kann man also quasi "durchnummerieren".
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[mm] \IZ [/mm] ist abzählbar unendlich. Definiert man f: [mm] \IN \to \IZ [/mm] durch [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x-1}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ ungerade} \\ -\bruch{x}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] so kann man es quasi abzählen indem man es durchnummeriert, also:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
f(n) 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 ...
Leuchtet mir einerseits ein, aber andererseits kann man es sich doch so vorstellen, dass [mm] \IZ [/mm] im Prinzip "doppelt" soviele Elemente enthalten müsste wie [mm] \IN, [/mm] da es ja alle positiven UND negativen ganzen Zahlen enthält, [mm] \IN [/mm] hingegen nur die positiven Zahlen.
Hat jemand ne einleuchtende Erklärung warum man es so nummerieren kann und warum geht es bei [mm] \IR [/mm] hingegen wieder nicht?
Guten Rutsch wünscht euch Hanz!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Jorgi |
Wenn es dir vorkommt, dass es doppelt so viele ganze Zahlen gibt, wie natürliche Zahlen, dann ist das menschlich.
Dass man aber trotzdem zeigen kann, dass es genau so viele ganze Zahlen gibt wie natürliche Zahlen, liegt nicht an einer fehlerhaften Theorie, sondern daran, dass das Konzept der "Unendlichkeit" das menschliche Verständnis übersteigt. Im Unendlichen gelten Gesetze, die uns paradox erscheinen. Das heißt nicht, dass sie wirklich paradox sind, sondenr nur, dass der Mensch nicht in der Lage ist, sie zu begreifen.
Unser menschliches Gehirn ist halt doch nicht das Non plus ultra ^^
Dass sich die reellen Zahlen nicht bijektiv auf die natürlichen Zahlen abbilden lassen, kann man ugefähr so begründen, dass es wirklich sehr viel mehr reelle Zahlen gibt als natürliche Zahlen, verdammt viel mehr.
Z.b. lieben im Intervall $[1/3, 1/2]$ bereits mehr reelle Zahlen als es natürliche Zahlen gibt, wohingegen im Intervall $[1/3, 1/2]$ nicht eine einzige natürliche Zahl liegt
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