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| Aufgabe | ein urne enthält fünf kugeln, die mit 1, 2, 3, 4, 5 beschriftet sind. als "gezogene zahl" gelte im folgenden die auf der gezogenen kugel stehende zahl. zunächst wird 50mal mit zurücklegen gezogen, [mm] X_{s} [/mm] sei die summe dieser 50 gezogenen zahlen.
a) mit welcher mindestwahrscheinlichkeit liegt das arithmetische mittel der 50 gezogenen zahlen im intervall ]2,7;3,3[ ?
b) nun wird n mal mit zurücklegen gezogen [mm] (n\in \N). [/mm] ermitteln sie alle werte von n, für die das arithmetische mittel der gezogenen zahlen mit einer wahrscheinlichkeit von weniger als 20% einen wert außerhalb des intervalls ]2,9;3,1[ annimmt. |
zu a) ich verwende die tschebyschow-ungleichung, also
[mm] P(\left| \bar X-\mu \right|< 0,3)\ge [/mm] 1- [mm] \bruch{Var}{n*0,3^{2}}
[/mm]
oder stimmt diese form der ungleichung nicht? der vordere teil ist auf alle fälle richtig, aber mit dem hinteren komm ihc nicht zum ergbenis...
das müsste nämlich sein: [mm] \ge [/mm] 55,6%
zu b) ich machs wieder ähnlich wie oben, also
[mm] P(\left| \bar X-\mu \right|> [/mm] 0,1) < 0,2
dann ersetze ich das 0,2 durch [mm] \bruch{Var}{n*0,1^{2}} [/mm] und versuch so, das ergebnis zu berechnen, komm aber nicht drauf...das ergebnis müsste sein: [mm] \ge [/mm] 1001
ich weiß auch nicht, ob der vordere teil der ungleichung stimmt...und beim hinteren bin ich mir gar nicht sicher...
wär toll, wenn ihr mir helfen könntet!
danke...:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 So 18.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Erika,
das Ganze krankt daran, dass du uns nicht verraetst, mit
welcher Varianz du rechnest. Wenn ich mit der korrekten Varianz
2 arbeite, kann ich deine Vorgaben beide nachvollziehen.
lg Luis
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entschuldigung:)
die varianz is vorgegeben und ist 100!
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grade dacht ich, ich hätte die lösung gefunden...:(
bei mir steht dann immer da: [mm] 1-\bruch{100}{50*0,3^{2}}
[/mm]
aber da kommt ja was negatives raus...ich versteh nicht, wo das probelm liegt...
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ich verstehs einfach nicht, ich bekomm immer was negatives raus...irgendwas mach ich doch falsch...aber was?
und bei der b) komm ich auch nicht weiter...
[mm] \bruch{Var}{n*(0,1)^{2}} [/mm] muss ja irgendwie 0,2 ergeben, obwohl ich wieder nicht weiß, wie ich die ungleichung aufstellen muss, also ob
[mm] \bruch{Var}{n*(0,1)^{2}} \ge [/mm] oder [mm] \le [/mm] oder < oder > 0,2...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Di 20.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 18.11.2007 | | Autor: | luis52 |
> entschuldigung:)
> die varianz is vorgegeben und ist 100!
100! Das kann nicht sein! Von welcher Varianz ist die Rede?
lg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 18.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin ,
du hast hier drei Zufallsvariablen:
$X$: gezogene Kugel in einem Zug. Es ist $P(X=x)=1/5$ fuer $x=1,2,3,4,5$.
Es gilt [mm] $\operatorname{E}[X]=3$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[X]=2$.
[/mm]
[mm] $X_s$: [/mm] Summe der gezogenen Zahlen. Verteilung ist kompliziert, aber
da mit Zuruecklegen gezogen wird, folgt [mm] $\operatorname{E}[X_s]=3\times50=150$
[/mm]
und [mm] $\operatorname{Var}[X_s]=2\times50=100$.
[/mm]
[mm] $\bar [/mm] X$: Arithmetisches Mittel der gezogenen Zahlen. Verteilung ist
kompliziert, aber da mit Zuruecklegen gezogen wird, folgt
[mm] $\operatorname{E}[\bar [/mm] X]=3$ und [mm] $\operatorname{Var}[\bar X_s]=2/50=0.04$.
[/mm]
Das $Var$ in deiner ersten Loesung bezieht sich stets auf die Varianz von $X$.
lg
Luis
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ja, wenn ichs so mach, kommt das richtige raus...aber ich verstehs nicht ganz, weil wir die formel so gelernt haben:
[mm] P(\left| \bar X - p \right| \ge [/mm] epsilon) [mm] \le \bruch{pq}{n* (epsilon^{2}}
[/mm]
und wir haben gelernt, dass
Var( [mm] \bar [/mm] X ) = [mm] \bruch{pq}{n}
[/mm]
dann is ja die varianz vom arithmetischen mittelwert bei der tschebyschow-ungleichung schon gegeben, also [mm] \bruch{pq}{n} [/mm] und das muss man dann noch durch das epsilon im quadrat teilen...aber so stimmt ja dann die lösung nicht...ich verzweifle langsam...
hab ich die falsche tschebyschow-ungleichung gewählt? welche gibts denn noch alles, also eine kenn ich noch:
[mm] P(\left| X-np \right| \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{npq}{a^{2}}
[/mm]
und zur b) nochmal...
ich hab die gleichung so aufgestellt:
[mm] P(\left| \bar X -p \right| [/mm] > 0,1) < 0,2
dann ersetze ich das 0,2 gegen [mm] \bruch{npq}{0,1^{2}}
[/mm]
dann muss ich ja n berechnen, also eine ungleichung aufstellen in der art
[mm] \bruch{npq}{0,1^{2}} [/mm] < 0,2, oder eben > oder [mm] \ge [/mm] oder [mm] \le
[/mm]
aber woher weiß ich das denn?
und außerdem kommt bei mir nicht das richtig raus, ich bekomm für n dann immer < oder > oder wie auch immer 50000...aber lösung ist [mm] n\ge [/mm] 1001
ich verzweifle noch...
danke...:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mo 19.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Erika,
> ja, wenn ichs so mach, kommt das richtige raus...aber ich
> verstehs nicht ganz, weil wir die formel so gelernt haben:
> [mm]P(\left| \bar X - p \right| \ge[/mm] epsilon) [mm]\le \bruch{pq}{n* (epsilon^{2}}[/mm]
Ich behaupte kuehn, dass ihr die Ungleichung nicht so gelernt
habt. Ich nehme mal die Formulierung in Satz 4.17 aus
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss01/stochInfWi/vs1/node46.html
Sie besagt, dass fuer jede Zufallsvariable $U$, deren Erwartungswert
[mm] $\operatorname{E}[U]$ [/mm] und deren Varianz [mm] $\operatorname{Var}[U]$
[/mm]
existieren, gilt:
)
[mm] $P(|U-\operatorname{E}[U]|>\varepsilon)\le\frac{\operatorname{Var}[U]}{\varepsilon^2}$
[/mm]
bzw.
[mm] $P(|U-\operatorname{E}[U]|<\varepsilon)\ge1-\frac{\operatorname{Var}[U]}{\varepsilon^2}$
[/mm]
Nehmen wir an, [mm] $U=\bar [/mm] X$ ist ein arithmetisches Mittel [mm] $\bar X=\sum_{i=1}^nX_i/n$. [/mm] Dann ist
[mm] $\operatorname{E}[U]=\operatorname{E}[\bar X]=\operatorname{E}[X_1]$ [/mm] und
[mm] $\operatorname{Var}[U]=\operatorname{Var}[\bar X]=\operatorname{Var}[X_1]/n$. [/mm] Mithin lautet die TU fuer [mm] $\bar [/mm] X$:
[mm] $P(|\bar-\operatorname{E}[X_1]|>\varepsilon)\le\frac{\operatorname{Var}[X_i]}{n\varepsilon^2}$
[/mm]
bzw.
[mm] $P(|\bar-\operatorname{E}[X_1]|>\varepsilon)\le\frac{\operatorname{Var}[X_i]}{n\varepsilon^2}$
[/mm]
>
> und wir haben gelernt, dass
> Var( [mm]\bar[/mm] X ) = [mm]\bruch{pq}{n}[/mm]
> dann is ja die varianz vom arithmetischen mittelwert bei
> der tschebyschow-ungleichung schon gegeben, also
> [mm]\bruch{pq}{n}[/mm] und das muss man dann noch durch das epsilon
> im quadrat teilen...aber so stimmt ja dann die lösung
> nicht...ich verzweifle langsam...
Wenden wir das mal auf eine Bernoulli-Verteilung an. Dann ist
[mm] $\operatorname{E}[U]=\operatorname{E}[\bar X]=\operatorname{E}[X_1]=p$
[/mm]
und [mm] $\operatorname{Var}[U]=\operatorname{Var}[\bar X]=\operatorname{Var}[X_1]/n=pq/n$. [/mm] Du siehst, dass *in diesem
Spezialfall* "deine" TU resultiert.
> hab ich die falsche tschebyschow-ungleichung gewählt?
Ja.
> welche gibts denn noch alles, also eine kenn ich noch:
> [mm]P(\left| X-np \right| \ge[/mm] a) [mm]\le \bruch{npq}{a^{2}}[/mm]
Die resultiert, wenn du [mm] $U=\sum X_i$ [/mm] und alle [mm] $X_i$ [/mm] Bernoulli-verteilt
sind (Fall von gerade).
Im vorliegenden Urnenmodell ist aber
[mm] $\operatorname{E}[U]=\operatorname{E}[\bar X]=\operatorname{E}[X_1]=3$
[/mm]
und [mm] $\operatorname{Var}[U]=\operatorname{Var}[\bar X]=\operatorname{Var}[X_1]/n=2/n$. [/mm] (Die Varianz der Gleichverteilung ueber [mm] $\{1,2,3,4,5\}$ [/mm] ist 2.)
>
> und zur b) nochmal...
> ich hab die gleichung so aufgestellt:
> [mm]P(\left| \bar X -p \right|[/mm] > 0,1) < 0,2
> dann ersetze ich das 0,2 gegen [mm]\bruch{npq}{0,1^{2}}[/mm]
> dann muss ich ja n berechnen, also eine ungleichung
> aufstellen in der art
> [mm]\bruch{npq}{0,1^{2}}[/mm] < 0,2, oder eben > oder [mm]\ge[/mm] oder [mm]\le[/mm]
> aber woher weiß ich das denn?
> und außerdem kommt bei mir nicht das richtig raus, ich
> bekomm für n dann immer < oder > oder wie auch immer
> 50000...aber lösung ist [mm]n\ge[/mm] 1001
Versuch es noch einmal unter Ausnutzung der neuen Erkenntnisse.
>
> ich verzweifle noch...
> danke...:)
Bitte Traenen nicht in die Tastatur tropfen lassen 
lg Luis
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