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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Fr 27.08.2010 | | Autor: | makl |
| Aufgabe | | Im [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] ist jeder lineare Teilraum automatisch abgeschlossen. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich lerne gerade Funkana und bin auf diesen Satz gestoßen, der mir nicht richtig einleuchten will. Ich weiß dass [mm] $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|)$ [/mm] ein Banachraum ist, und auch dass jeder normierte Vektorraum X mit [mm] $\dim=n$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|)$ [/mm] ist, also [mm] $X\cong (\mathbb{R}^n,\|\cdot\|)$ [/mm] ist.
Warum ist jetzt jeder Untervektorraum vom [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] automatisch abgeschlossen?
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Fr 27.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Im [mm]\mathbb{R}^n[/mm] ist jeder lineare Teilraum automatisch
> abgeschlossen.
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ich lerne gerade Funkana und bin auf diesen Satz
> gestoßen, der mir nicht richtig einleuchten will. Ich
> weiß dass [mm](\mathbb{R}^n,\|\cdot\|)[/mm] ein Banachraum ist, und
> auch dass jeder normierte Vektorraum X mit [mm]\dim=n[/mm] isomorph
> zu [mm](\mathbb{R}^n, \|\cdot\|)[/mm] ist, also [mm]X\cong (\mathbb{R}^n,\|\cdot\|)[/mm]
> ist.
>
> Warum ist jetzt jeder Untervektorraum vom [mm]\mathbb{R}^n[/mm]
> automatisch abgeschlossen?
Meinst faengt man mit folgender Aussage an: jede lineare Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR^m$ [/mm] ist stetig.
Daraus folgt, dass Kerne solcher linearer Abbildungen abgeschlossen sind.
Schleisslich kannst du zu jedem UVR $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] eine lineare Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR^{n - \dim U}$ [/mm] konstruieren, deren Kern gerade $U$ ist (schreibe [mm] $\IR^n [/mm] = U [mm] \oplus [/mm] V$, und betrachte die Abbildung $U [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V [mm] \to \IR^{\dim V}$).
[/mm]
LG Felix
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