trigonometrische Form < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Sa 02.11.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | Stellen Sie folgende komplexe Zalen in arithemtischer Form z=x+iy und in trigonometrischer Form [mm] z=r(\cos \varphi [/mm] + i [mm] \sin \varphi [/mm] ) dar:
a) z=(2+i)(3+i)
b) z= [mm] \bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
c) z= [mm] (1+i)^3
[/mm]
d) z= [mm] \wurzel[3]{1+i} [/mm] |
Die arithemitsche Form ist außer bei d) keine Schwierigkeit.
Mein Problem ist vor allem die trigonometrische Form. Wir hatten diese nicht in der Vorlesung und ich hab bis jetzt auch keine Beispielaufgaben in Büchern gefunden. Könnte mir jemand vielleicht mal eine Beispielaufgabe zeigen, dass ich das Prinzip der trionometrischen Form verstehe?
Vielen Danke für eure Mühen schon im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Stellen Sie folgende komplexe Zalen in arithemtischer Form
> z=x+iy und in trigonometrischer Form [mm]z=r(\cos \varphi[/mm] + i
> [mm]\sin \varphi[/mm] ) dar:
> a) z=(2+i)(3+i)
> b) z= [mm]\bruch{1-i}{1+i}[/mm]
> c) z= [mm](1+i)^3[/mm]
> d) z= [mm]\wurzel[3]{1+i}[/mm]
>
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> Die arithemitsche Form ist außer bei d) keine
> Schwierigkeit.
> Mein Problem ist vor allem die trigonometrische Form. Wir
> hatten diese nicht in der Vorlesung und ich hab bis jetzt
> auch keine Beispielaufgaben in Büchern gefunden. Könnte
> mir jemand vielleicht mal eine Beispielaufgabe zeigen, dass
> ich das Prinzip der trionometrischen Form verstehe?
Man kann es einfach ineinander umrechnen.
Ich verweise dazu einfach mal wieder auf mein lieblings komplexe Zahlen Skript (Ab Seite 38 dürfte es für dich interessant werden):
http://www.educ.ethz.ch/unt/um/mathe/aa/kz/Leitprogramm.pdf
Zu Aufgabe d)
Ich würde zunächst die Eulerform der Zahl (1+i) berechnen, danach bedenken, dass [mm] \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}[/mm].
Anschließend einfach in die jeweilige Form überführen.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 02.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Hallo Valerie,
das Skript ist wirklich gut. Vielen Dank dafür, es hilft mir auch beim allgemeinen Verständnis für die komplexen Zahlen.
Ich habe damit jetzt b) und c) versucht mit zu bearbeiten. Stimmen die Lösungen?
b)1 [mm] \cdot [/mm] ( [mm] \cos \bruch{ \pi }{2} [/mm] + i [mm] \sin \bruch{ \pi }{2} [/mm] )
c) [mm] \wurzel{5} [/mm] ( [mm] \cos \bruch{7 \pi }{6} [/mm] + i [mm] \sin \bruch{7 \pi }{6} [/mm] )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 02.11.2013 | | Autor: | hippias |
Ich fuerchte Nein: Es ist ja [mm] $\cos\frac{\pi}{2}+ i\sin\frac{\pi}{2}= [/mm] i$; aber der Betrag stimmt. Bei c. stimmt der Betrag nicht; den Winkel habe ich nicht ueberprueft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Bei c.) stimmt neben dem Betrag auch der Winkel nicht.
Rechne doch mal vor ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 02.11.2013 | | Autor: | LisaK |
bei b) habe ich als arithemtische Form:
z=1-i
r= [mm] \wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{1^2+(-1)^2}=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \cos \varphi [/mm] = [mm] \bruch{b}{a} [/mm]
[mm] \varphi [/mm] =-45°= [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
also ist die trigonometrische Form
z= [mm] \wurzel{2} (\cos \bruch{\pi}{2} [/mm] + i [mm] \sin \bruch{\pi}{2})
[/mm]
Stimmt das jetzt so? Falls nicht, kann mir bitte jemand zeigen wie es richtig geht? Ich lese und probiere jetzt schon den ganzen Tag und komm einfach nicht weiter.
Vielen Dank
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Hallo,
> bei b) habe ich als arithemtische Form:
> z=1-i
??
Oben steht doch [mm]z=\frac{1-i}{1+i}[/mm]
Wenn du das mit dem komplex Konjugierten des Nenners erweiterst, bekommst du die Normaldarstellung [mm]z=a+bi[/mm]
Also [mm]z=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)\red{\cdot{}(1-i)}}{(1+i)\red{\cdot{}(1-i)}}=...=-i \ ( \ =0+(-1)\cdot{}i \ )[/mm]
Und hier kannst du das Argument bzw. den Winkel doch ablesen ...
Was ist [mm]|-i|[/mm]?
> r= [mm]\wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{1^2+(-1)^2}=\wurzel{2}[/mm]
> [mm]\cos \varphi[/mm] = [mm]\bruch{b}{a}[/mm]
> [mm]\varphi[/mm] =-45°= [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> also ist die trigonometrische Form
> z= [mm]\wurzel{2} (\cos \bruch{\pi}{2}[/mm] + i [mm]\sin \bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Stimmt das jetzt so?
Ich weiß nicht, wozu die Rechnung gehört?!
> Falls nicht, kann mir bitte jemand
> zeigen wie es richtig geht? Ich lese und probiere jetzt
> schon den ganzen Tag und komm einfach nicht weiter.
>
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
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