trennung von variablen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Fr 28.01.2005 | | Autor: | arni5789 |
hallo,
bin neu hier und hoffe, dass mir hier jemand bei folgendem problem helfen kann:
die funktion q(t) soll bestimmt werden mit hilfe der trennung der variablen.
R*(dq/dt) + (1/C)*q = [mm] u_{0}
[/mm]
wobei R,C und [mm] u_{0} [/mm] konstant sind.
kann mir bitte jemand den lösungsweg zeigen?
danke
-axel-
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Hallo.
[mm]R\cdot{}q'(t)+\frac{1}{C}\cdot{}q(t)=u_0[/mm]
[mm]R\cdot{}q'(t)=-\frac{1}{C}\cdot{}q(t)+u_0[/mm]
I [mm]R\cdot{}q'(t)=-\frac{1}{C}\cdot{}(q(t)-C\cdot{}u_0)[/mm]
Nun kann man folgende Substitution machen:
II [mm]r(t)=q(t)-C\cdot{}u_0[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]r'(t)=q'(t)[/mm]
Eingesetzt in I ergibt sich:
[mm]R\cdot{}r'(t)=-\frac{1}{C}\cdot{}r(t)[/mm]
[mm]R\cdot{}\frac{r'(t)}{r(t)}=-\frac{1}{C}[/mm]
[mm]\frac{r'(t)}{r(t)}=-\frac{1}{RC}[/mm]
Nun integriert man nach dt.
[mm]\ln(r(t))=-\frac{1}{RC}t+k[/mm] (k soll die Integrationskonstante sein)
[mm]r(t)=e^{-\frac{1}{RC}t+k}[/mm]
III [mm]r(t)=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot{}e^k[/mm]
Setzt man nun t=0 ein, so ergibt sich
[mm]r(0)=e^k[/mm]
Weiterhin gilt durch II
[mm]r(0)=q(0)-C\cdot{}u_0[/mm]
IV [mm]e^k=q(0)-C\cdot{}u_0[/mm]
Nun setzt man II und IV in III ein:
[mm]q(t)-C\cdot{}u_0=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot{}(q(0)-C\cdot{}u_0)[/mm]
Dann wird noch nach der gesuchten Funktion q(t) umgestellt:
[mm]q(t)=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot{}(q(0)-C\cdot{}u_0)+C\cdot{}u_0[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Fr 28.01.2005 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo nochmal.
Die Lösung erscheint mir zwar richtig, aber ich bin nicht ganz sicher ob der Lösungsweg der geforderte ist (Ich weiss nicht was man unter Trennung der Variablen versteht).
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Sa 29.01.2005 | | Autor: | arni5789 |
vielen dank!
hat mir echt weiter geholfen.
danke
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