totales Differential? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mi 30.05.2007 | | Autor: | shapi |
| Aufgabe | Eine Funktion f mit 5 Unbekannten f(v, w, x, y, z)
Ich will zeigen, dass f mit einer Veränderung aller Variablen wächst und nicht mit der Erhöhung nur einer der Variablen |
Ich dachte zum Nachweis an das totale Differential.
Wie kann ich das jetzt zeigen? Muss ich dafür zeigen, dass df > 0 ist?
Meine Lösung wäre also:
df > 0, wenn dv, dw, ... > 0
Jetzt stellt sich mir die Frage, wie ich zeigen kann, dass f nur steigt, wenn alle Variablen simultan um mehr als 0 erhöht werden.
Blöde Frage, glaube ich ... sorry  Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ob f mit Zunahme aller Variablen wächst, hängt doch von der gegebenen Funktion selber ab. Wenn du eine konkrete Funktion hast, gilt Folgendes:
df = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}dx [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}dy [/mm] + ...
steigt mit Zunahme der Variablen an, wenn alle partiellen Ableitungen (an dieser Stelle oder global) positive Werte annehmen.
Was nicht richtig ist, ist, dass alle Variablen gleichzeitig ansteigen müssen: Sind alle part. Ableitungen positiv, reicht schon die Zunahme einer einzigen Variablen; sind nur einige positiv, reicht auch die Zunahme der entsprechenden Variablen.
Allgemein gilt:
Nimmt der Wert der Funktion überhaupt bei der Zunahme von einer oder mehrerer Variablen zu, so gibt es eine einzige Variable, bei deren Zunahme f schon anwächst.
Begründung:
Nimmt der Wert der Funktion überhaupt bei der Zunahme von einer oder mehrerer Variablen zu, so muss wenigstens eine der part. Ableitungen dort positiv sein. Dann reicht es aber aus, nur diese Variable zu vergrößern, um f anwachsen zu lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 31.05.2007 | | Autor: | shapi |
danke für die Antwort!
Also reicht es zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen positiv sind und die dx, dy ... sind unwichtig?
Ich würde dann schreiben:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v}+\bruch{\partial f}{\partial w}+... [/mm]
setze die Funktionswerte ein, an der das gelten soll (das Maximum in x; siehe unten)
und wenn diese Summe der partiellen Ableitungen positiv ist, dann ist der Beweis erbracht?
Ich will meine Frage von oben noch präzisieren: Die Funktion ist bereits maximal in einer Variable [mm] (\bruch{\partial f}{\partial x}=0). [/mm] Und jetzt möchte ich zeigen, dass wenn man die anderen Variablen erhöht, den Funktionswert noch weiter steigern kann (wenn man x allein erhöht sinkt der Funktionswert natürlich).
Danke nochmals und viele Grüße
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Wenn [mm] \partial [/mm] f/ [mm] \partial [/mm] x =0 ist und dort für x (nachgewiesener Maßen) ein Maximum vorliegt, solltest du x gar nicht mehr verändern (dx=0), denn jede Veränderung von x senkt (zunächst) den Wert und muss dann wieder durch die Zunahme mit Hilfe der anderen Variablenänderungen kompensiert werden.
Nun änderst du (nur) diejenigen Variablen mit positivem Zuwachs (also z. B. dy>0), deren partielle Ableitung positiv und diejenigem mit negativem Zuwachs (= Abnahme, also z.B. dz < 0), deren partielle Ableitung negativ ist. Beide Maßnahmen erhöhen den Funktionswert.
Bei einer Zunahme von x wirst du in einen Bereich rutschen, bei dem die part. Abl. wieder negativ wird und bei Abnahme von x in einen Bereich, bei dem die part. Abl. positiv wird, denn sonst wäre dort kein Maximum für x.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Sa 02.06.2007 | | Autor: | shapi |
Danke vielmals!
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